Publications

2010

• Modèles et asymptotiques des interfaces fines et périodiques en électromagnétisme
  
  • Delourme Bérangère
  , 2010. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des équations de Maxwell dans une structure périodique constituée d'un anneau mince de matériau diélectrique de rayon moyen r à l'intérieur duquel s'enroulent deux nappes de fils hélicoïdaux. L'épaisseur de l'anneau et la distance entre deux fils consécutifs sont du même ordre de grandeur d et nous supposons que d est bien inférieur à la longueur d'onde de l'onde incidente ainsi qu'au rayon moyen r. La présence des deux échelles rend les simulations numériques directes difficiles (il est alors nécessaire de mailler la structure à l'échelle du fil). C'est pourquoi nous construisons des modèles approchés dans lesquels l'anneau périodique est remplacé par une condition de transmission posée sur l'interface médiane S. La résolution du modèle approché par une méthode d'éléments finis est bien moins coûteuse que celle du problème exact car il n'y a plus besoin de mailler les fils. La construction des modèles approchés repose sur un développement asymptotique de la solution en fonction du petit paramètre d. Nous utilisons une méthode couplant les techniques d'homogénéisation et des développements asymptotiques raccordés. Les conditions de transmission approchées se construisent alors à l'aide du développement asymptotique tronqué. Nous accordons une attention particulière à la stabilisation des modèles approchés ainsi qu'à leur justification théorique. Enfin, nous validons nos modèles par des simulations numériques.
• An Explicit Desingularization Procedure for General Nonholonomic Systems
  
  • Chitour Yacine
  • Jean Frédéric
  • Long Ruixing
  , 2010. Consider a control-affine nonholonomic system (Sigma). We present in this paper a new desingularization procedure which constructs explicitly from (Sigma) a regular control-affine nonholonomic system. The main idea is to add new variables, thus augmenting the dimension of the state space, such that its projection coincides with the original control system (Sigma). This construction will allow us to devise a global and fully constructive motion planning method for general driftless and control-affine nonholonomic systems under the sole assumption of the Lie Algebraic Rank Condition. (10.1109/CDC.2010.5717402)
  DOI : 10.1109/CDC.2010.5717402
• Analysis of optimal control models for the human locomotion
  
  • Chitour Yacine
  • Chittaro Francesca
  • Jean Frédéric
  • Mason Paolo
  , 2010, pp.6 pages. In recent papers it has been suggested that human locomotion may be modeled as an inverse optimal control problem. In this paradigm, the trajectories are assumed to be solutions of an optimal control problem that has to be determined. We discuss the modeling of both the dynamical system and the cost to be minimized, and we analyse the corresponding optimal synthesis. The main results describe the asymptotic behavior of the optimal trajectories as the target point goes to infinity. (10.1109/cdc.2010.5717396)
  DOI : 10.1109/cdc.2010.5717396
• Méthodes de quasi-réversibilité et de lignes de niveau appliquées aux problèmes inverses elliptiques.
  
  • Dardé Jérémi
  , 2010. Ce travail s'intéresse à l'utilisation de la méthode de quasi-réversibilité pour la résolution de problèmes inverses, un exemple typique étant le problème inverse de l'obstacle. Nous proposons pour ce dernier une nouvelle approche couplant la méthode de quasi-réversibilité et une méthode de lignes de niveau. Plus précisément, à partir d'un ouvert candidat C, nous résolvons un problème de Cauchy à l'extérieur de C, puis nous mettons à jour cet ouvert par la méthode de lignes de niveau. La solution approchée du problème de Cauchy est obtenue en utilisant la méthode de quasi-réversibilité, introduite par J.L. Lions et R. Lattès dans les années soixante. Nous proposons différentes formulations de cette méthode, ainsi que sa discrétisation par éléments finis non conformes adaptés à l'espace de Sobolev H2, et nous prouvons la convergence des éléments finis. En présence d'une donnée bruitée, nous introduisons une nouvelle méthode basée sur la dualité en optimisation et le principe de Morozov. Nous montrons que cette méthode fournit des données régularisées et un choix de paramètre de régularisation pertinent pour la quasi-réversibilité. En ce qui concerne la mise à jour de l'ouvert C, nous proposons deux méthodes de lignes de niveau très différentes : la première est basée sur une équation eikonale, la seconde sur une équation de Poisson. Nous prouvons que ces deux approches assurent la convergence vers l'obstacle. Finalement, nous présentons des résultats numériques pour cette approche couplant quasi-réversibilité/lignes de niveau dans différentes situations : problème inverse de l'obstacle avec condition de Dirichlet, détection de défauts dans une structure élasto-plastique...
• Price decomposition in large-scale stochastic optimal control
  
  • Barty Kengy
  • Carpentier Pierre
  • Cohen Guy
  • Girardeau Pierre
  , 2010. We are interested in optimally driving a dynamical system that can be influenced by exogenous noises. This is generally called a Stochastic Optimal Control (SOC) problem and the Dynamic Programming (DP) principle is the natural way of solving it. Unfortunately, DP faces the so-called curse of dimensionality: the complexity of solving DP equations grows exponentially with the dimension of the information variable that is sufficient to take optimal decisions (the state variable). For a large class of SOC problems, which includes important practical problems, we propose an original way of obtaining strategies to drive the system. The algorithm we introduce is based on Lagrangian relaxation, of which the application to decomposition is well-known in the deterministic framework. However, its application to such closed-loop problems is not straightforward and an additional statistical approximation concerning the dual process is needed. We give a convergence proof, that derives directly from classical results concerning duality in optimization, and enlghten the error made by our approximation. Numerical results are also provided, on a large-scale SOC problem. This idea extends the original DADP algorithm that was presented by Barty, Carpentier and Girardeau (2010).
• Etude mathématique et numérique de guides d'ondes ouverts non uniformes, par approche modale
  
  • Goursaud Benjamin
  , 2010. Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude, à la fois théorique et numérique, de la diffraction d'une onde harmonique par la jonction entre deux guides d'ondes ouverts. Nous démontrons que ce problème est bien posé. Pour cela, nous utilisons des conditions de rayonnement modales, qui sont fondées sur la représentation de la solution dans un guide droit à l'aide des modes guidés (liés au spectre ponctuel de l'opérateur transverse) et des modes de radiation (liés au spectre continu de l'opérateur transverse). Cette représentation semble difficile à mettre en oeuvre dans une méthode numérique, à cause du continuum des modes de radiation. Comme alternative, nous utilisons des PMLs (Perfectly Matched Layers) pour borner le domaine de calcul dans les directions transverses, ce qui modifie singulièrement la nature de l'opérateur transverse : il perd son caractère autoadjoint et son spectre devient exclusivement discret. Parmi ses nouveaux modes, se trouvent désormais des modes à fuite, dont les propriétés sont étudiées. Nous expliquons en quoi la perte du caractère autoadjoint implique que le calcul des modes peut être délicat. Nous expliquons ensuite comment utiliser ces nouveaux modes (formant maintenant un ensemble discret) dans des méthodes numériques pour la jonction entre deux guides d'ondes ouverts (conditions aux limites transparentes fondées sur des opérateurs de Dirichlet-to-Neumann, méthode multimodale).
• Radial orbit instability as a dissipation-induced phenomenon
  
  • Maréchal Lionel
  • Perez Jérôme
  Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Oxford University Press (OUP): Policy P - Oxford Open Option A, 2010, 405 (Issue 4), pp.p. 2785. This paper is devoted to Radial Orbit Instability in the context of self-gravitating dynamical systems. We present this instability in the new frame of Dissipation-Induced Instability theory. This allows us to obtain a rather simple proof based on energetics arguments and to clarify the associated physical mechanism.
• Interior penalty approximation for optimal control problems. Optimality conditions in stochastic optimal control theory.
  
  • Silva Francisco J.
  , 2010. This thesis is divided in two parts. In the first one we consider deterministic optimal control problems and we study interior approximations for two model problems with non-negativity constraints. The first model is a quadratic optimal control problem governed by a nonautonomous affine ordinary differential equation. We provide a first-order expansion for the penalized state an adjoint state (around the corresponding state and adjoint state of the original problem), for a general class of penalty functions. Our main argument relies on the following fact: if the optimal control satisfies strict complementarity conditions for its Hamiltonian, except for a set of times with null Lebesgue measure, the functional estimates of the penalized optimal control problem can be derived from the estimates of a related finite dimensional problem. Our results provide three types of measure to analyze the penalization technique: error estimates of the control, error estimates of the state and the adjoint state and also error estimates for the value function. The second model we study is the optimal control problem of a semilinear elliptic PDE with a Dirichlet boundary condition, where the control variable is distributed over the domain and is constrained to be non-negative. Following the same approach as in the first model, we consider an associated family of penalized problems, whose solutions define a central path converging to the solution of the original one. In this fashion, we are able to extend the results obtained in the ODE framework to the case of semilinear elliptic PDE constraints. In the second part of the thesis we consider stochastic optimal control problems. We begin withthe study of a stochastic linear quadratic problem with non-negativity control constraints and we extend the error estimates for the approximation by logarithmic penalization. The proof is based is the stochastic Pontryagin's principle and a duality argument. Next, we deal with a general stochastic optimal control problem with convex control constraints. Using the variational approach, we are able to obtain first and second-order expansions for the state and cost function, around a local minimum. This analysis allows us to prove general first order necessary condition and, under a geometrical assumption over the constraint set, second-order necessary conditions are also established.
• Approche asymptotique pour l'étude mathématique et la simulation numérique de la propagation du son en présence d'un écoulement fortement cisaillé
  
  • Joubert Lauris
  , 2010. Cette thèse s'inscrit dans le cadre d'étude de la simulation de la propagation du son en écoulement. L'objectif de ces travaux est l'obtention de modèles approchés permettant une prise en compte aisée des zones de fortes variations de l'écoulement porteur (couche limite de paroi, couche de mélange...). Le modèle mathématique retenu pour l'étude est celui des équations de Galbrun. La première partie est consacrée à la propagation acoustique dans un tuyau mince bidimensionnel. Une analyse asymptotique qui s'apparente à une analyse basse fréquence est menée pour obtenir un problème approché original, faisant intervenir un terme intégral non local vis à vis de la coordonnée transverse. Du fait de son originalité, l'analyse de stabilité est complexe et nécessite une étude ad hoc. Cette approche nouvelle permet de retrouver des résultats sur la stabilité des écoulements incompressible, mais aussi d'en établir de nouveaux. Nous proposons ensuite une méthode de résolution numérique basée sur une expression quasi-explicite de la solution. La question de la prise en compte des couches limites de paroi fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons toujours un problème bidimensionnel à paroi plane. Les cas d'une paroi parfaitement rigide et d'une paroi sur laquelle on impose une condition d'impédance sont traités. Dans les deux cas nous remplaçons la couche limite par une condition aux limites approchée, au moyen d'une analyse asymptotique. Ces conditions font intervenir la résolution du problème limite du tube et l'analyse de stabilité repose sur les résultats de la première partie. Nous explorons ensuite les propriétés physiques et mathématiques de ces problèmes approchés.
• A probabilistic algorithm approximating solutions of a singular PDE of porous media type
  
  • Belaribi Nadia
  • Cuvelier François
  • Russo Francesco
  , 2010. The object of this paper is a one-dimensional generalized porous media equation (PDE) with possibly discontinuous coefficient $\beta$, which is well-posed as an evolution problem in $L^1(\mathbb{R})$. In some recent papers of Blanchard et alia and Barbu et alia, the solution was represented by the solution of a non-linear stochastic differential equation in law if the initial condition is a bounded integrable function. We first extend this result, at least when $\beta$ is continuous and the initial condition is only integrable with some supplementary technical assumption. The main purpose of the article consists in introducing and implementing a stochastic particle algorithm to approach the solution to (PDE) which also fits in the case when $\beta$ is possibly irregular, to predict some long-time behavior of the solution and in comparing with some recent numerical deterministic techniques.
• Identification of generalized impedance boundary conditions: some numerical issues
  
  • Bourgeois Laurent
  • Chaulet Nicolas
  • Haddar Houssem
  , 2010, pp.30. We are interested in the identification of a Generalized Impedance Boundary Condition from the far fields created by one or several incident plane waves at a fixed frequency. We focus on the particular case where this boundary condition is expressed as a second order surface operator: the inverse problem then amounts to retrieve the two functions $\lambda$ and $\mu$ that define this boundary operator. We first derive a new type of stability estimate for the identification of $\lambda$ and $\mu$ from the far field when inexact knowledge of the boundary is assumed. We then introduce an optimization method to identify $\lambda$ and $\mu$, using in particular a $H^1$-type regularization of the gradient. We lastly show some numerical results in two dimensions, including a study of the impact of some various parameters, and by assuming either an exact knowledge of the shape of the obstacle or an approximate one.
• Wave equation with porous nonlinear acoustic boundary conditions generates a well-posed dynamical system
  
  • Graber Philip Jameson
  Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Elsevier, 2010, 73, pp.3058-3068. We consider a structural acoustic wave equation with nonlinear acoustic boundary conditions. This is a coupled system of second and first order in time partial differential equations, with boundary conditions on the interface. We prove wellposedness in the Hadamard sense for strong and weak solutions. The main tool used in the proof is the theory of nonlinear semigroups. We present the system of partial differential equations as a suitable Cauchy problem dw/dt = Aw. Though the operator A is not maximally dissipative we are able to show that it is a translate of a maximally dissipative operator. The obtained semigroup solution is shown to satisfy a suitable variational equality, thus giving weak solutions to the system of PDEs. The results obtained (i) dispel the notion that the model does not generate semigroup solutions, (ii) provide treatment of nonlinear models, and (iii) provide existence of a correct state space which is invariant under the flow-thus showing that physical model under consideration is a dynamical system. The latter is obtained by eliminating compatibility conditions which have been assumed in previous work (on the linear case). (10.1016/j.na.2010.06.075)
  DOI : 10.1016/j.na.2010.06.075
• Hamilton-Jacobi-Bellman approach for the climbing problem for multi-stage launchers
  
  • Bokanowski Olivier
  • Cristiani Emiliano
  • Laurent-Varin Julien
  • Zidani Hasnaa
  , 2010.
• A motion planning algorithm for the rolling-body problem
  
  • Alouges François
  • Chitour Yacine
  • Long Ruixing
  IEEE Transactions on Robotics, IEEE, 2010, 6, pp.827--836. (10.1109/TRO.2010.2053733)
  DOI : 10.1109/TRO.2010.2053733
• Interaction d'une fibre et d'un écoulement en géométrie confinée
  
  • Semin Benoît
  , 2010. Le déplacement d'objets allongés dans un fluide se retrouve dans de nombreux domaines tels que la récupération du pétrole, la production du papier ou la nage de micro-organismes. Dans ce travail, nous étudions le comportement d'une fibre cylindrique longue dans un écoulement en géométrie confinée (fracture, canal microfluidique). Dans un premier temps, les forces de trainée exercées sur la fibre ont été déterminées expérimentalement et numériquement en fonction de son orientation et de sa position dans l'ouverture. Lorsque la fibre est parallèle à l'écoulement, elle le perturbe faiblement et une modélisation 2D est suffisante ; au contraire, lorsqu'elle est perpendiculaire, l'écoulement devient 3D quand le blocage est incomplet. Pour cette orientation, la portance est suffisante pour maintenir l'objet au centre de l'écoulement. Pour un nombre de Reynolds de l'ordre de 20, cette position devient instable : le cylindre oscille entre les deux parois. Le seuil de l'instabilité est inférieur au seuil d'émission des tourbillons de Bénard-Von Kármán. La position du cylindre est modélisée par une équation de Van der Pol qui prédit quantitativement la bifurcation de Hopf du système. Une interprétation hydrodynamique des coefficients de cette équation est présentée. Nous présentons et validons ensuite une méthode de traitement d'image, qui détermine de manière analytique la forme d'une fibre avec une précision sub-pixel. De plus, l'angle du vecteur tangent et la courbure de la fibre - essentielle car reliée à son moment fléchissant - sont mesurés avec précision.
• SHOOT2.0: An indirect grid shooting package for optimal control problems, with switching handling and embedded continuation
  
  • Martinon Pierre
  • Gergaud Joseph
  , 2010, pp.30. The SHOOT2.0 package implements an indirect shooting method for optimal control problems. It is specifically designed to handle control discontinuities, with an automatic switching detection that requires no assumptions concerning the number of switchings. Special care is also devoted to the computation of the Jacobian matrix of the shooting function, using the variational system instead of classical finite differences. The package also features an embedded continuation method and an automatic (parallel) grid shooting in order to reduce the dependency to the initialization.
• Qualitative Crack Identification by 3D Time-Domain Topological Sensitivity
  
  • Bellis Cédric
  • Bonnet Marc
  , 2010.
• Identification de fissures par la méthode de sensibilité topologique en élastodynamique temporelle
  
  • Bellis Cédric
  • Bonnet Marc
  , 2010.
• Modeling and numerical simulation of a nonlinear system of piano strings coupled to a soundboard.
  
  • Chabassier Juliette
  • Chaigne Antoine
  , 2010, pp.590. Construction of a physical model for the grand piano implies complex and multidimensional phenomena. We present a model of piano strings coupled to a soundboard, and its numerical approximation. Measurements on piano strings and bridge show phantom partials and a time precursor that both cannot be explained by the linear scalar string model. A classical model of nonlinear strings has been written by Morse & Ingard, it implies to consider the longitudinal displacement as well as the standard transversal displacement of the string, in a nonlinear coupled system. Various approximate (polynomial) models have been written from this one, by expanding the nonlinearity (a square root term) around the rest position of the string. We provide a mathematical justification of the most used model. Transmission of the string motion to the rest of the structure is essential from the acoustical point of view. We use a modal approach for the soundboard, and we write a nonstandard reciprocal coupling condition between strings and soundboard at the bridge. Numerical approximation of such a nonlinear, multidimensional and coupled problem is a difficult issue. We use an energy approach to achieve stability, which leads to an innovating implicit numerical scheme.
• Planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes et étude de la contrôlabilité spectrale pour les équations de Schrödinger linéarisées
  
  • Long Ruixing
  , 2010. L'objectif de cette thèse est, d'une part, de fournir des méthodes de planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes, et d'autre part, d'étudier la contrôlabilité spectrale pour les équations de Schrödinger linéarisées. Nous avons apporté une double contribution au problème de la planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes. Fondé sur la géométrie sous-riemannienne, nous avons conçu un nouvel algorithme qui résout complètement le problème dans un cadre général. Nous avons également proposé une implémentation numérique de la méthode de continuation qui fournit des solutions satisfaisantes au problème de la planification du roulement sur le plan, un exemple classique de systèmes non-holonomes à deux entrées. Nous avons donné des conditions nécessaires et suffisantes de contrôlabilité spectrale en temps fini des équations de Schrödinger linéarisées en dimension 2 et 3. Leur généricité par rapport au domaine a été étudiée par une technique originale basée sur les équations intégrales.
• Calcul stochastique via régularisation en dimension infinie avec perspectives financières
  
  • Di Girolami Cristina
  , 2010. This thesis develops some aspects of stochastic calculus via regularization to Banach valued processes. An original concept of Chi-quadratic variation is introduced, where Chi is a subspace of the dual of a tensor product B⊗B where B is the values space of some process X process. Particular interest is devoted to the case when B is the space of real continuous functions defined on [-τ,0], τ>0. Itô formulae and stability of finite Chi-quadratic variation processes are established. Attention is deserved to a finite real quadratic variation (for instance Dirichlet, weak Dirichlet) process X. The C([-τ,0])-valued process X(•) defined by X_t(y) = X_{t+y}, where y ∈ [-τ,0], is called window process. Let T >0. If X is a finite quadratic variation process such that [X]_t = t and h = H(X_T(•)) where H:C([-T,0])→R is L^{2}([-T,0])-smooth or H non smooth but finitely based it is possible to represent h as a sum of a real H_0 plus a forward integral of type \int_0^T \xi d^-X where H_0 and \xi are explicitly given. This representation result will be strictly linked with a function u:[0,T]x C([-T,0])→R which in general solves an infinite dimensional partial differential equation with the property H_{0}=u(0, X_{0}(•)), \xi_t=Du(t, X_{t}(•))({0}). This decomposition generalizes important aspects of Clark-Ocone formula which is true when X is the standard Brownian motion W. The financial perspective of this work is related to hedging theory of path dependent options without semimartingales.
• A Lagrangian approach to intrinsic linearized elasticity
  
  • Iosifescu Oana
  • Ciarlet Philippe G.
  • Ciarlet Patrick
  • Jun Zou
  • Sauter Stefan
  Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique, Elsevier, 2010, 348, pp.587-592. We consider the pure traction problem and the pure displacement problem of three-dimensional linearized elasticity. We show that, in each case, the intrinsic approach leads to a quadratic minimization problem constrained by Donati-like relations. Using the Babuška-Brezzi inf-sup condition, we then show that, in each case, the minimizer of the constrained minimization problem found in an intrinsic approach is the first argument of the saddle-point of an ad hoc Lagrangian, so that the second argument of this saddle-point is the Lagrange multiplier associated with the corresponding constraints. (10.1016/j.crma.2010.04.011)
  DOI : 10.1016/j.crma.2010.04.011
• Study of propagation of acoustic waves in junction of thin slots
  
  • Semin Adrien
  • Joly Patrick
  , 2010, pp.56. In this document, we analyze via the theory of matched asymptotics the propagation of a time domain acoustic wave in a junction of thin slots. This allows us to propose Improved Kirchhoff conditions for the 1D limit problem. These conditions are analyzed and validated numerically.
• Optimal control of state constrained integral equations
  
  • Bonnans J. Frederic
  • de La Vega Constanza
  Set-Valued and Variational Analysis, Springer, 2010, 18 (3), pp.307-326. We consider the optimal control problem of a class of integral equations with initial and final state constraints, as well as running state coinstraints. We prove Pontryagin's principle, and study the continuity of the optimal control and of the measure associated with first order state constraints. We also establish the Lipschitz continuity of these two functions of time for problems with only first order state constraints.
• Opérateur DtN pour les guides cylindriques à paroi traitée en présence d'un écoulement uniforme
  
  • Ouedraogo Boureima
  • Redon Emmanuel
  • Mercier Jean-François
  , 2010. On s'intéresse au problème de rayonnement acoustique d'une source dans une conduite cylindrique axisymétrique infinie dont la paroi est recouverte d'un matériau absorbant en présence d'un écoulement uniforme. Dans le but d'utiliser la méthode des éléments finis, le domaine infini doit être tronqué par une frontière artificielle sur laquelle une condition limite transparente est introduite. La méthode exposée dans ce travail consiste à écrire la condition transparente sous la forme d'un opérateur Dirichlet to Neumann (DtN) obtenu par la généralisation de travaux réalisés dans le cas d'un guide 2D infini. Cet opérateur est basé sur une décomposition modale qu'il est facile d'expliciter si le guide est rigide: le problème aux valeurs propres associé est alors auto-adjoint. En présence d'un matériau absorbant, modélisé par une impédance locale Z sur la paroi, des difficultés apparaissent car le problème aux valeurs propres n'est plus auto-adjoint. Néanmoins, une relation de bi-orthogonalité existe et permet de définir l'opérateur DtN. Dans le cas plus général d'un guide traité en présence d'un écoulement uniforme, le problème aux valeurs propres est encore non auto-adjoint et il n'existe plus de relation de bi-orthogonalité exacte pour la pression seule. Toutefois, nous montrons qu'il est possible d'écrire une relation d'orthogonalité valide asymptotiquement qui permet d'exprimer une bonne approximation de l'opérateur DtN cherché. La méthode est présentée dans le cas académique d'un guide cylindrique axisymétrique rectiligne, mais elle s'étend à des configurations plus complexes à condition que la partie étudiée soit comprise entre deux tronçons de guide rectiligne dans lesquels l'écoulement est uniforme. En particulier, le cas d'un guide non rectiligne en présence d'un écoulement potentiel sera présenté comme illustration.