Publications

2010

• Modèles et asymptotiques des interfaces fines et périodiques en électromagnétisme
  
  • Delourme Bérangère
  , 2010. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des équations de Maxwell dans une structure périodique constituée d'un anneau mince de matériau diélectrique de rayon moyen r à l'intérieur duquel s'enroulent deux nappes de fils hélicoïdaux. L'épaisseur de l'anneau et la distance entre deux fils consécutifs sont du même ordre de grandeur d et nous supposons que d est bien inférieur à la longueur d'onde de l'onde incidente ainsi qu'au rayon moyen r. La présence des deux échelles rend les simulations numériques directes difficiles (il est alors nécessaire de mailler la structure à l'échelle du fil). C'est pourquoi nous construisons des modèles approchés dans lesquels l'anneau périodique est remplacé par une condition de transmission posée sur l'interface médiane S. La résolution du modèle approché par une méthode d'éléments finis est bien moins coûteuse que celle du problème exact car il n'y a plus besoin de mailler les fils. La construction des modèles approchés repose sur un développement asymptotique de la solution en fonction du petit paramètre d. Nous utilisons une méthode couplant les techniques d'homogénéisation et des développements asymptotiques raccordés. Les conditions de transmission approchées se construisent alors à l'aide du développement asymptotique tronqué. Nous accordons une attention particulière à la stabilisation des modèles approchés ainsi qu'à leur justification théorique. Enfin, nous validons nos modèles par des simulations numériques.
• Méthodes de quasi-réversibilité et de lignes de niveau appliquées aux problèmes inverses elliptiques.
  
  • Dardé Jérémi
  , 2010. Ce travail s'intéresse à l'utilisation de la méthode de quasi-réversibilité pour la résolution de problèmes inverses, un exemple typique étant le problème inverse de l'obstacle. Nous proposons pour ce dernier une nouvelle approche couplant la méthode de quasi-réversibilité et une méthode de lignes de niveau. Plus précisément, à partir d'un ouvert candidat C, nous résolvons un problème de Cauchy à l'extérieur de C, puis nous mettons à jour cet ouvert par la méthode de lignes de niveau. La solution approchée du problème de Cauchy est obtenue en utilisant la méthode de quasi-réversibilité, introduite par J.L. Lions et R. Lattès dans les années soixante. Nous proposons différentes formulations de cette méthode, ainsi que sa discrétisation par éléments finis non conformes adaptés à l'espace de Sobolev H2, et nous prouvons la convergence des éléments finis. En présence d'une donnée bruitée, nous introduisons une nouvelle méthode basée sur la dualité en optimisation et le principe de Morozov. Nous montrons que cette méthode fournit des données régularisées et un choix de paramètre de régularisation pertinent pour la quasi-réversibilité. En ce qui concerne la mise à jour de l'ouvert C, nous proposons deux méthodes de lignes de niveau très différentes : la première est basée sur une équation eikonale, la seconde sur une équation de Poisson. Nous prouvons que ces deux approches assurent la convergence vers l'obstacle. Finalement, nous présentons des résultats numériques pour cette approche couplant quasi-réversibilité/lignes de niveau dans différentes situations : problème inverse de l'obstacle avec condition de Dirichlet, détection de défauts dans une structure élasto-plastique...
• Etude mathématique et numérique de guides d'ondes ouverts non uniformes, par approche modale
  
  • Goursaud Benjamin
  , 2010. Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude, à la fois théorique et numérique, de la diffraction d'une onde harmonique par la jonction entre deux guides d'ondes ouverts. Nous démontrons que ce problème est bien posé. Pour cela, nous utilisons des conditions de rayonnement modales, qui sont fondées sur la représentation de la solution dans un guide droit à l'aide des modes guidés (liés au spectre ponctuel de l'opérateur transverse) et des modes de radiation (liés au spectre continu de l'opérateur transverse). Cette représentation semble difficile à mettre en oeuvre dans une méthode numérique, à cause du continuum des modes de radiation. Comme alternative, nous utilisons des PMLs (Perfectly Matched Layers) pour borner le domaine de calcul dans les directions transverses, ce qui modifie singulièrement la nature de l'opérateur transverse : il perd son caractère autoadjoint et son spectre devient exclusivement discret. Parmi ses nouveaux modes, se trouvent désormais des modes à fuite, dont les propriétés sont étudiées. Nous expliquons en quoi la perte du caractère autoadjoint implique que le calcul des modes peut être délicat. Nous expliquons ensuite comment utiliser ces nouveaux modes (formant maintenant un ensemble discret) dans des méthodes numériques pour la jonction entre deux guides d'ondes ouverts (conditions aux limites transparentes fondées sur des opérateurs de Dirichlet-to-Neumann, méthode multimodale).
• Approche asymptotique pour l'étude mathématique et la simulation numérique de la propagation du son en présence d'un écoulement fortement cisaillé
  
  • Joubert Lauris
  , 2010. Cette thèse s'inscrit dans le cadre d'étude de la simulation de la propagation du son en écoulement. L'objectif de ces travaux est l'obtention de modèles approchés permettant une prise en compte aisée des zones de fortes variations de l'écoulement porteur (couche limite de paroi, couche de mélange...). Le modèle mathématique retenu pour l'étude est celui des équations de Galbrun. La première partie est consacrée à la propagation acoustique dans un tuyau mince bidimensionnel. Une analyse asymptotique qui s'apparente à une analyse basse fréquence est menée pour obtenir un problème approché original, faisant intervenir un terme intégral non local vis à vis de la coordonnée transverse. Du fait de son originalité, l'analyse de stabilité est complexe et nécessite une étude ad hoc. Cette approche nouvelle permet de retrouver des résultats sur la stabilité des écoulements incompressible, mais aussi d'en établir de nouveaux. Nous proposons ensuite une méthode de résolution numérique basée sur une expression quasi-explicite de la solution. La question de la prise en compte des couches limites de paroi fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons toujours un problème bidimensionnel à paroi plane. Les cas d'une paroi parfaitement rigide et d'une paroi sur laquelle on impose une condition d'impédance sont traités. Dans les deux cas nous remplaçons la couche limite par une condition aux limites approchée, au moyen d'une analyse asymptotique. Ces conditions font intervenir la résolution du problème limite du tube et l'analyse de stabilité repose sur les résultats de la première partie. Nous explorons ensuite les propriétés physiques et mathématiques de ces problèmes approchés.
• Identification of generalized impedance boundary conditions: some numerical issues
  
  • Bourgeois Laurent
  • Chaulet Nicolas
  • Haddar Houssem
  , 2010, pp.30. We are interested in the identification of a Generalized Impedance Boundary Condition from the far fields created by one or several incident plane waves at a fixed frequency. We focus on the particular case where this boundary condition is expressed as a second order surface operator: the inverse problem then amounts to retrieve the two functions $\lambda$ and $\mu$ that define this boundary operator. We first derive a new type of stability estimate for the identification of $\lambda$ and $\mu$ from the far field when inexact knowledge of the boundary is assumed. We then introduce an optimization method to identify $\lambda$ and $\mu$, using in particular a $H^1$-type regularization of the gradient. We lastly show some numerical results in two dimensions, including a study of the impact of some various parameters, and by assuming either an exact knowledge of the shape of the obstacle or an approximate one.
• Interaction d'une fibre et d'un écoulement en géométrie confinée
  
  • Semin Benoît
  , 2010. Le déplacement d'objets allongés dans un fluide se retrouve dans de nombreux domaines tels que la récupération du pétrole, la production du papier ou la nage de micro-organismes. Dans ce travail, nous étudions le comportement d'une fibre cylindrique longue dans un écoulement en géométrie confinée (fracture, canal microfluidique). Dans un premier temps, les forces de trainée exercées sur la fibre ont été déterminées expérimentalement et numériquement en fonction de son orientation et de sa position dans l'ouverture. Lorsque la fibre est parallèle à l'écoulement, elle le perturbe faiblement et une modélisation 2D est suffisante ; au contraire, lorsqu'elle est perpendiculaire, l'écoulement devient 3D quand le blocage est incomplet. Pour cette orientation, la portance est suffisante pour maintenir l'objet au centre de l'écoulement. Pour un nombre de Reynolds de l'ordre de 20, cette position devient instable : le cylindre oscille entre les deux parois. Le seuil de l'instabilité est inférieur au seuil d'émission des tourbillons de Bénard-Von Kármán. La position du cylindre est modélisée par une équation de Van der Pol qui prédit quantitativement la bifurcation de Hopf du système. Une interprétation hydrodynamique des coefficients de cette équation est présentée. Nous présentons et validons ensuite une méthode de traitement d'image, qui détermine de manière analytique la forme d'une fibre avec une précision sub-pixel. De plus, l'angle du vecteur tangent et la courbure de la fibre - essentielle car reliée à son moment fléchissant - sont mesurés avec précision.
• Qualitative Crack Identification by 3D Time-Domain Topological Sensitivity
  
  • Bellis Cédric
  • Bonnet Marc
  , 2010.
• Identification de fissures par la méthode de sensibilité topologique en élastodynamique temporelle
  
  • Bellis Cédric
  • Bonnet Marc
  , 2010.
• Modeling and numerical simulation of a nonlinear system of piano strings coupled to a soundboard.
  
  • Chabassier Juliette
  • Chaigne Antoine
  , 2010, pp.590. Construction of a physical model for the grand piano implies complex and multidimensional phenomena. We present a model of piano strings coupled to a soundboard, and its numerical approximation. Measurements on piano strings and bridge show phantom partials and a time precursor that both cannot be explained by the linear scalar string model. A classical model of nonlinear strings has been written by Morse & Ingard, it implies to consider the longitudinal displacement as well as the standard transversal displacement of the string, in a nonlinear coupled system. Various approximate (polynomial) models have been written from this one, by expanding the nonlinearity (a square root term) around the rest position of the string. We provide a mathematical justification of the most used model. Transmission of the string motion to the rest of the structure is essential from the acoustical point of view. We use a modal approach for the soundboard, and we write a nonstandard reciprocal coupling condition between strings and soundboard at the bridge. Numerical approximation of such a nonlinear, multidimensional and coupled problem is a difficult issue. We use an energy approach to achieve stability, which leads to an innovating implicit numerical scheme.
• A Lagrangian approach to intrinsic linearized elasticity
  
  • Iosifescu Oana
  • Ciarlet Philippe G.
  • Ciarlet Patrick
  • Jun Zou
  • Sauter Stefan
  Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique, Elsevier, 2010, 348, pp.587-592. We consider the pure traction problem and the pure displacement problem of three-dimensional linearized elasticity. We show that, in each case, the intrinsic approach leads to a quadratic minimization problem constrained by Donati-like relations. Using the Babuška-Brezzi inf-sup condition, we then show that, in each case, the minimizer of the constrained minimization problem found in an intrinsic approach is the first argument of the saddle-point of an ad hoc Lagrangian, so that the second argument of this saddle-point is the Lagrange multiplier associated with the corresponding constraints. (10.1016/j.crma.2010.04.011)
  DOI : 10.1016/j.crma.2010.04.011
• Study of propagation of acoustic waves in junction of thin slots
  
  • Semin Adrien
  • Joly Patrick
  , 2010, pp.56. In this document, we analyze via the theory of matched asymptotics the propagation of a time domain acoustic wave in a junction of thin slots. This allows us to propose Improved Kirchhoff conditions for the 1D limit problem. These conditions are analyzed and validated numerically.
• Modélisation par éléments finis mixtes spectraux de capteurs piézoélectriques
  
  • Imperiale Sébastien
  • Cohen Gary
  • Leymarie Nicolas
  • Joly Patrick
  , 2010. Généralement constitués de matériaux piézo-composites, les capteurs multi-éléments sont de plus en plus utilisés en contrôle non destructif par ultrasons en raison de leur capacité à focaliser ou dévier un faisceau ultrasonore pour des composants de formes canoniques ou complexes. Dans l'objectif de modéliser avec précision la sensibilité en émission et en réception de tels capteurs, une modélisation en domaine temporel par éléments finis a été développée. Les équations de la piézoélectricité reposent sur le couplage des équations de Maxwell et de l'élastodynamique. L'hypothèse électrostatique est utilisée, ramenant les équations à résoudre à des équations dynamiques couplées avec une équation statique. La résolution de l'équation statique est coûteuse et doit être faite à chaque pas de temps de la simulation. Ce travail présente le développement d'un modèle homogénéisé basé sur des éléments finis d'ordre élevé [1-2]. La discrétisation par éléments finis mixtes spectraux d'ordre élevé est particulièrement efficace lorsqu'on cherche à approcher des solutions régulières. Toutefois ces méthodes étant coûteuses sur des géométries complexes et sur-maillées, l'emploi de techniques d'homogénéisation applicables à la structure périodique des capteurs piézo-composites a pour but de réduire la complexité du modèle étudié, en simplifiant sa géométrie, bénéficiant ainsi des performances des méthodes d'ordre élevé. Un code éléments finis 2D basé sur ce concept original a été développé permettant de simuler des capteurs en mode émission (champ rayonné par le capteur dans le sabot et dans la pièce) mais aussi en réception (écho de sabot ou écho de surface). [1] Higher-order numerical method for transient wave equations, G. Cohen, Springer-Verlag, 2002. [2] Modèles asymptotiques en ferromagnétisme : couches minces et homogénéisation, H. Haddar, Thèse, 2000.
• Simulations numériques de la multidiffusion acoustique en conduit, comparaison avec des modèles analytiques
  
  • Lunéville Éric
  • Mercier Jean-François
  , 2010. Nous nous intéressons à la caractérisation des effets de multi-diffusion dans les guides d'ondes. Nous considérons la propagation acoustique en régime harmonique dans un conduit horizontal 2D à parois rigides. Nous avons développé une approche numérique pour déterminer les propriétés effectives d'un milieu hétérogène aléatoire dans un conduit. A l'aide de simulations directes nous déterminons un champ cohérent en faisant la moyenne des champs sur de nombreuses réalisations différentes de désordre. En interprétant ce champ cohérent comme une onde se propageant dans un milieu homogène équivalent, les propriétés effectives de ce milieu sont extraites. Une comparaison avec des modèles analytiques de la littérature, développés en milieu infini et non en conduit, est effectuée. Une méthode d'éléments finis est choisie pour permettre de traiter des diffuseurs de formes arbitraires. Afin de réduire les temps de calcul, la méthode des éléments finis est couplée à une représentation intégrale du champ diffracté. Elle réduit la taille du maillage, mais nécessite l'évaluation de la fonction de Green du guide. Une réduction supplémentaire des temps de calcul est obtenue en considérant, non pas des configurations de diffuseurs complètement aléatoires, mais des configurations périodiques perturbées : les diffuseurs sont placés sur un réseau de référence périodique puis sont déplacés localement aléatoirement. Ceci permet de paralléliser les calculs, en divisant le domaine de calcul en tranches verticales. Pour chaque tranche, la matrice de diffusion est calculée. Enfin, la matrice de diffusion de la couche entière est obtenue par la combinaison des matrices de diffusion. Les calculs de transmissions effectives et de nombres d'ondes effectifs montrent un bon accord avec plusieurs modèles analytiques, sauf pour certaines fréquences, les fréquences de bandes interdites des réseaux périodiques sous-jacents. Dans ce cas, le réseau périodique perturbé se comporte en moyenne comme un réseau périodique.
• Transitoires de piano et non-linéarités des cordes : mesures et simulations
  
  • Chabassier Juliette
  • Chaigne Antoine
  • Joly Patrick
  , 2010. Au cours de leur mouvement, les cordes du piano sont soumises à des variations de tension consécutives aux variations de longueur induites par le déplacement transversal. Ce phénomène est particulièrement prononcé au moment de l'attaque par le marteau, le déplacement moyen étant alors la plupart du temps d'un ordre de grandeur supérieur au diamètre de la corde. Il s'ensuit un couplage entre les ondes de flexion transversale et l'onde de compression longitudinale. Cette dernière se propage environ 10 à 20 fois plus rapidement que les ondes de flexion. Dans le domaine temporel, l'onde longitudinale apparaît sous la forme d'un précurseur qui excite l'ensemble de la structure de l'instrument avant l'arrivée des premières oscillations transversales. Elle joue donc un rôle crucial dans la composition du transitoire de piano. Dans le domaine spectral, le couplage transverse-longitudinal peut être vu comme une composition de non-linéarités quadratiques et cubiques. En conséquence, on observe l'apparition de combinaison de fréquences appartenant aux spectres respectifs des deux types de vibration. Afin de mieux comprendre ces phénomènes, nous avons entrepris des simulations numériques. Le modèle utilisé est un système non linéaire couplé mettant en jeu la vibration transversale et la vibration longitudinale ainsi que l'angle de flexion permettant de prendre en compte la raideur. L'énergie totale du système est conservée au cours du temps, impliquant la stabilité de la solution. Le schéma numérique proposé est un schéma innovant, non linéaire, implicite, qui conserve un équivalent discret de l'énergie totale à chaque pas de temps, et assure ainsi la stabilité numérique dans un cas non linéaire où cette dernière est difficile à obtenir. Les résultats des simulations sont examinés et discutés par comparaison avec des formes d'onde expérimentales obtenues sur la table d'harmonie cordée d'un piano droit.
• Opérateur DtN pour les guides cylindriques à paroi traitée en présence d'un écoulement uniforme
  
  • Ouedraogo Boureima
  • Redon Emmanuel
  • Mercier Jean-François
  , 2010. On s'intéresse au problème de rayonnement acoustique d'une source dans une conduite cylindrique axisymétrique infinie dont la paroi est recouverte d'un matériau absorbant en présence d'un écoulement uniforme. Dans le but d'utiliser la méthode des éléments finis, le domaine infini doit être tronqué par une frontière artificielle sur laquelle une condition limite transparente est introduite. La méthode exposée dans ce travail consiste à écrire la condition transparente sous la forme d'un opérateur Dirichlet to Neumann (DtN) obtenu par la généralisation de travaux réalisés dans le cas d'un guide 2D infini. Cet opérateur est basé sur une décomposition modale qu'il est facile d'expliciter si le guide est rigide: le problème aux valeurs propres associé est alors auto-adjoint. En présence d'un matériau absorbant, modélisé par une impédance locale Z sur la paroi, des difficultés apparaissent car le problème aux valeurs propres n'est plus auto-adjoint. Néanmoins, une relation de bi-orthogonalité existe et permet de définir l'opérateur DtN. Dans le cas plus général d'un guide traité en présence d'un écoulement uniforme, le problème aux valeurs propres est encore non auto-adjoint et il n'existe plus de relation de bi-orthogonalité exacte pour la pression seule. Toutefois, nous montrons qu'il est possible d'écrire une relation d'orthogonalité valide asymptotiquement qui permet d'exprimer une bonne approximation de l'opérateur DtN cherché. La méthode est présentée dans le cas académique d'un guide cylindrique axisymétrique rectiligne, mais elle s'étend à des configurations plus complexes à condition que la partie étudiée soit comprise entre deux tronçons de guide rectiligne dans lesquels l'écoulement est uniforme. En particulier, le cas d'un guide non rectiligne en présence d'un écoulement potentiel sera présenté comme illustration.
• Higher-Order Finite Elements for Hybrid Meshes Using New Nodal Pyramidal Elements
  
  • Bergot Morgane
  • Cohen Gary
  • Duruflé Marc
  Journal of Scientific Computing, Springer Verlag, 2010, 42 (3), pp.345--381. We provide a comprehensive study of arbitrarily high-order finite elements defined on pyramids. We propose a new family of high-order nodal pyramidal finite element which can be used in hybrid meshes which include hexahedra, tetrahedra, wedges and pyramids. Finite elements matrices can be evaluated through approximate integration, and we show that the order of convergence of the method is conserved. Numerical results demonstrate the efficiency of hybrid meshes compared to pure tetrahedral meshes or hexahedral meshes obtained by splitting tetrahedra into hexahedra. (10.1007/s10915-009-9334-9)
  DOI : 10.1007/s10915-009-9334-9
• Approximate Models for Wave Propagation Across Thin Periodic Interfaces
  
  • Delourme Bérangère
  • Haddar Houssem
  • Joly Patrick
  , 2010. This work deals with the scattering of acoustic waves by a thin ring which contains many regularly-spaced heterogeneties. We provide a complete description of the asymptotic of the solution with respect to the period and the thickness of the heterogeneities. Then, we build a simplified model replacing the thin perforated ring by an effective transmission condition. We pay particular attention to the stabilization of the effective transmission condition. Error estimates and numerical simulations are carried out to validate the accuracy of the model.
• A low Mach model for time harmonic acoustics in arbitrary flows
  
  • Bonnet-Ben Dhia Anne-Sophie
  • Mercier Jean-François
  • Millot Florence
  • Pernet Sébastien
  Journal of Computational and Applied Mathematics, Elsevier, 2010, 234 (6), pp.1868-1875. This paper concerns the finite element simulation of the diffraction of a time-harmonic acoustic wave in the presence of an arbitrary mean flow. Considering the equation for the perturbation of displacement (due to Galbrun), we derive a low-Mach number formulation of the problem which is proved to be of Fredholm type and is therefore well suited for discretization by classical Lagrange finite elements. Numerical experiments are done in the case of a potential flow for which an exact approach is available, and a good agreement is observed. (10.1016/j.cam.2009.08.038)
  DOI : 10.1016/j.cam.2009.08.038
• Energy Preserving Schemes for Nonlinear Hamiltonian Systems of Wave Equations. Application to the Vibrating Piano String.
  
  • Chabassier Juliette
  • Joly Patrick
  , 2010, pp.70. The problem of the vibration of a string is well known in its linear form, describing the transversal motion of a string, nevertheless this description does not explain all the observations well enough. Nonlinear coupling between longitudinal and transversal modes seams to better model the piano string, as does for instance the ''geometrically exact model'' (GEM). This report introduces a general class of nonlinear systems, ''nonlinear hamiltonian systems of wave equations'', in which fits the GEM. Mathematical study of these systems is lead in a first part, showing central properties (energy preservation, existence and unicity of a global smooth solution, finite propagation velocity \ldots). Space discretization is made in a classical way (variational formulation) and time discretization aims at numerical stability using an energy technique. A definition of ''preserving schemes'' is introduced, and we show that explicit schemes or partially implicit schemes which are preserving according to this definition cannot be built unless the model is linear. A general energy preserving second order accurate fully implicit scheme is built for any continuous system that fits the nonlinear hamiltonian systems of wave equations class.
• A quasi-reversibility approach to solve the inverse obstacle problem
  
  • Bourgeois Laurent
  • Dardé Jérémi
  Inverse Problems and Imaging, AIMS American Institute of Mathematical Sciences, 2010, 4 (3), pp.351-377. We introduce a new approach based on the coupling of the method of quasi-reversibility and a simple level set method in order to solve the inverse obstacle problem with Dirichlet boundary condition. We provide a theoretical justification of our approach and illustrate its feasibility with the help of numerical experiments in 2D. © 2010 American Institute of Mathematical Sciences. (10.3934/ipi.2010.4.351)
  DOI : 10.3934/ipi.2010.4.351
• La méthode des éléments finis : de la théorie à la pratique. Tome 2 : Compléments
  
  • Bécache Eliane
  • Ciarlet Patrick
  • Hazard Christophe
  • Lunéville Éric
  , 2010, pp.284. La méthode des éléments finis, apparue dans les années 50 pour traiter des problèmes de mécanique des structures, a connu depuis lors un développement continu et est utilisée, aujourd’hui, dans tous les domaines d’applications : mécanique, physique, chimie, économie, finance et biologie. Elle est maintenant intégrée à la plupart des logiciels de calcul scientifique, et de nombreux ingénieurs y sont confrontés dans le cadre de leur activité de modélisation et de simulation numérique. Cet ouvrage recouvre un cours d’éléments finis avancé dispensé à l’ENSTA Paris depuis plusieurs années et fait suite à un ouvrage introductif à la méthode des éléments finis paru dans la même collection. Le livre aborde les compléments indispensables à connaître dès lors qu’on aborde des problèmes plus réalistes. En particulier, les questions relatives à l’approximation par éléments finis des problèmes spectraux (éléments propres de problèmes elliptiques), des problèmes transitoires (équation de diffusion, équation des ondes) et des problèmes mixtes (équations de Stokes, équations de Maxwell). À l’instar du premier tome, nous présentons à la fois les bases théoriques des méthodes, les aspects de mise en œuvre et de nombreuses illustrations numériques.
• High-order Absorbing Boundary Conditions for anisotropic and convective wave equations
  
  • Bécache Eliane
  • Givoli Dan
  • Hagstrom Thomas
  Journal of Computational Physics, Elsevier, 2010, 229 (4), pp.1099-1129. High-order Absorbing Boundary Conditions (ABCs), applied on a rectangular artificial computational boundary that truncates an unbounded domain, are constructed for a general two-dimensional linear scalar time-dependent wave equation which represents acoustic wave propagation in anisotropic and subsonically convective media. They are extensions of the construction of Hagstrom, Givoli and Warburton for the isotropic stationary case. These ABCs are local, and involve only low-order derivatives owing to the use of auxiliary variables on the artificial boundary. The accuracy and well-posedness of these ABCs is analyzed. Special attention is given to the issue of mismatch between the directions of phase and group velocities, which is a potential source of concern. Numerical examples for the anisotropic case are presented, using a finite element scheme. © 2009 Elsevier Inc. All rights reserved. (10.1016/j.jcp.2009.10.012)
  DOI : 10.1016/j.jcp.2009.10.012
• Computation of light refraction at the surface of a photonic crystal using DtN approach
  
  • Fliss Sonia
  • Cassan Eric
  • Bernier Damien
  Journal of the Optical Society of America B, Optical Society of America, 2010, 27 (7), pp.1492-1503. What we believe to be a new rigorous theoretical approach to the refraction of light at the interface of twodimensional photonic crystals is developed. The proposed method is based on the Dirichlet-to-Neumann (DtN) approach which consists of computing exactly the DtN operators associated with each half-space on both sides of the interface. It fully uses the properties of periodic optical media and takes naturally into account both the evanescent and propagative Bloch modes. Contrary to other proposed approaches, the new method is not based on modal expansions and their complicated electromagnetic field matching at the interfaces, but uses an operator vision. Intrinsically, each operator represents the effect along the interface of a particular medium independently of any medium and/or material that is placed in the other half-space. At the end, the whole computational effort to estimate DtN operators is restricted to the computation of a finite element problem in the periodicity cell of the photonic crystal. Field computations in arbitrary large part of the optical media can be then performed with a negligible computational effort. The method has been applied to the case of incoming plane waves as well as Gaussian beam profiles. It has successfully been compared with the standard plane wave expansion method and finite difference time domain (FDTD) simulations in the case of negative refraction, strongly dispersive, and lensing configurations. The proposed approach is amenable to the generalized study of dispersive phenomena in planar photonic crystals by a rigorous modeling approach avoiding the main drawbacks of FDTD. It is amenable to the study of arbitrary cascaded periodic optical media and photonic crystal heterostructures. © 2010 Optical Society of America. (10.1364/josab.27.001492)
  DOI : 10.1364/josab.27.001492
• Transparent boundary conditions for the harmonic diffraction problem in an elastic waveguide
  
  • Baronian Vahan
  • Bonnet-Ben Dhia Anne-Sophie
  • Lunéville Éric
  Journal of Computational and Applied Mathematics, Elsevier, 2010, 234 (6), pp.1945-1952. This work concerns the numerical finite element computation, in the frequency domain, of the diffracted wave produced by a defect (crack, inclusion, perturbation of the boundaries, etc.) located in a 3D infinite elastic waveguide. The objective is to use modal representations to build transparent conditions on some artificial boundaries of the computational domain. This cannot be achieved in a classical way, due to non-standard properties of elastic modes. However, a biorthogonality relation allows us to build an operator, relating hybrid displacement/stress vectors. An original mixed formulation is then derived and implemented, whose unknowns are the displacement field in the bounded domain and the normal component of the normal stresses on the artificial boundaries. Numerical validations are presented in the 2D case. (10.1016/j.cam.2009.08.045)
  DOI : 10.1016/j.cam.2009.08.045
• Finite element simulations of multiple scattering in acoustic waveguides
  
  • Lunéville Éric
  • Mercier Jean-François
  Waves in Random and Complex Media, Taylor & Francis, 2010, 20 (4), pp.615-633. We develop a numerical method to characterize multiple-scattering effects in a duct. To reduce time computations, a FEM method coupled to an integral representation of the scattered pressure field, requiring the evaluation of the duct Green's function, is used, combined with the consideration of random scatterer configurations in the form of perturbed periodic arrays. This strategy reduces the mesh size and allows parallel computations. Application to the computation by an averaging process of effective transmissions is presented. When sending a plane wave, although waveguides involve mode conversion, the mean field is found to be a plane wave. Good agreement is found when comparing to analytical models, not initially designed for a duct, except for some frequencies, recognized to be the band gap frequencies of the underlying periodic arrays. © 2010 Taylor & Francis. (10.1080/17455031003753000)
  DOI : 10.1080/17455031003753000