Publications

1996

• Algebraic Way to Derive Discrete Absorbing Boundary Conditions for Wave Equation
  
  • Tuomela Jukka
  • Vacus Olivier
  , 1996. We introduce a new algebraic framework to derive discrete absorbing boundary conditions for wave equation in the monodimensional case. The idea is to factor directly the discrete wave operator and then use one of the factors as boundary condition. We also analyse the stability of the schemes obtained this way and perform numerical simulations to estimate their practical value.
• Fictitious Domain Method for Unsteady Problems: Application to Electromagnetic Scattering
  
  • Collino Francis
  • Joly Patrick
  • Millot Florence
  , 1996. In this work, we present and implement a fictitious domain method for time dependent problems of scattering by obstacles. We focus our attention on the case of 2D electromagnetic waves and perfectly conducting boundaries. Such a method allows us to work with uniform meshes for the electric field, independently of the geometry of the obstacle, the boundary condition being taken into account via the introduction of a Lagrange multiplier that can be interpreted as a surface current. After a brief description of the method and a presentation of its main properties, we show the superiority in terms of accuracy of this new method over the method that consists in using a staircase like approximation of the boundary.
• Mathematical and Numerical Studies of 1D Non Linear Ferromagnetic Materials
  
  • Joly Patrick
  • Vacus Olivier
  , 1996. In this paper we are interested in the numerical modeling of absorbing ferromagnetic materials obeying the non-linear Landau-Lifchitz-Gilbert law with respect to the propagation and scattering of electromagnetic waves. In this work we consider the 1D problem. We first show that the corresponding Cauchy problem has a unique global solution. We then derive a numerical scheme based on an appropriate modification of Yee's scheme, that we show to preserve some important properties of the continuous model such as the conservation of the norm of the magnetization and the decay of the electromagnetic energy. The stability is proved under a suitable CFL condition. Eventually some numerical results corresponding to the 1D model are presented.
• Primal-Dual Formulations for Parameter Estimation Problems
  
  • Chavent Guy
  • Kunisch Karl
  • Roberts Jean
  , 1996. A new method for formulating and solving parameter estimation problems based on Fenchel duality is presented. The partial differential equation is considered as a contraint in a least squares type formulation and is realized as a penalty term involving the primal and dual energy functionals associated with the differential equation. Splitting algorithms and mixed finite element discretizations are discussed and some numerical examples are given.
• Conditions aux limites absorbantes d'ordre élevé pour l'équation des ondes 3D
  
  • Collino Francis
  , 1996. On propose une généralisation des conditions aux limites absorbantes d'ordre élevé à l'équation des ondes 3D avec ou sans terme d'amortissement. On établit, pour les boîtes de calcul parallelipipediques, des conditions d'arêtes et de coin qui permettent de poser correctement le problème. Un schéma numérique et son algorithme associé est présenté. Un exemple numérique illustre la méthode.
• Maxwell's Equations in a 1D Ferromagnetic Medium : Existence and Uniqueness of Strong Solutions
  
  • Joly Patrick
  • Vacus Olivier
  , 1996. In this paper we are interested in the Maxwell's equations together with the Landau-Lifchitz-Gilbert law in order to model absorbing ferromagnetic materials in 1D. Using a fixed point theorem we establish existence and uniqueness of strong global solutions in suitable spaces, namely $\hrotr$ for the electric and magnetic fields $\eg$ and $\hg$, and $\ldlic$ for the magnetization $\mg$.
• Big Ray Tracing and Eikonal Solver on Unstructured Grids : Application to the Computation of a Multi-valued Travel-time Field in the Marmousi Model
  
  • Abgrall Remi
  • Benamou Jean-David
  , 1996. We present in this paper the numerical computation of the multi-valued travel-time field generated by a point source experiment in the Marmousi model. Two recently developed methods are combined to achieve this goal : a method called big ray tracing, used for the computation of multi-valued travel-time fields, and an eikonal solver designed to work on unstructured meshes.\\ Big ray tracing is based on a combination of ray tracing and local solutions of the eikonal equation. A classical ray tracing first 'discretizes' the phase space and defines local zones which possibly overlap where the travel-time field is multi-valued. An eikonal solver then computes the travel-time in these zones called big rays. It acts as an exact interpolator between rays associated to different branches of the travel-time field. The geometry of the big rays may be complicated and is best discretized using unstructured meshes. An eikonal solver designed to work on unstructured meshes is used.
• Sur l'analyse des conditions aux limites absorbantes pour l'équation de Helmholtz
  
  • Joly Patrick
  • Vacus Olivier
  , 1996. Ha Duong et Joly ont montré, par des méthodes énergétiques, la stabilité d'une classe de conditions limites absorbantes pour l'équation des ondes. Notre but dans ce rapport est d'obtenir des résultats analogues pour l'équation de Helmholtz, et ceci en nous inspirant de leurs démonstrations. Ce travail n'est qu'un premier pas dans cette direction. Nous considérons le cas simplifié de l'équation de Helmholtz 2D posée dans un carré et ne considérons la condition absorbante d'ordre élevé que sur un des cotés de ce carré. Nous démontrons alors un résultat d'unicité. Cela permet de résoudre complétement le problème lorsqu'on peut se placer dans le cadre de l'alternative de Fredholm. Nous montrons que cela est possible dans le cas de la condition d'ordre 2. Les conditions sous lesquelles nous montrons nos résultats sont analogues à celles établies pour les problèmes en temps.
• On the solution of time-harmonic scattering problems for Maxwell's equations
  
  • Hazard Christophe
  • Lenoir Marc
  SIAM Journal on Mathematical Analysis, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1996, 27, pp.1597-1630.
• Perfectly Matched Absorbing Layers for the Paraxial Equations
  
  • Collino Francis
  , 1996. A new absorbing boundary technique for the paraxial wave equations is proposed and analyzed. Numerical results show the efficiency of the method.
• Eléments finis et condensation de masse pour les équations de Maxwell: le cas 2D
  
  • Elmkies Alexandre
  • Joly Patrick
  , 1996. Dans ce travail, nous nous proposons de construire de nouveaux espaces d'éléments finis d'arêtes adaptés à la résolution des équations de Maxwell avec pour objectif de résoudre le délicat problème de la condensation de masse, y compris en milieu anisotrope. A notre connaissance, ce problème n'a pas reçu de solution vraiment satisfaisante jusqu'à présent. Pour cela, nous sommes amenés à enrichir les espaces de Nédélec et à introduire certaines composantes normales comme degrés de liberté supplémentaires. Les schémas obtenus sont alors analysés par l'intermédiaire d'une étude de dispersion numérique en maillage régulier. Dans ce rapport, nous nous limitons au cas bidimensionnel et considérons aussi bien les maillages triangulaires que rectangulaires. L'étude du cas tridimensionnel fera l'objet d'un rapport ultérieur.
• A Numerical Method for the Computation of Electromagnetic Modes in Optical Fibers
  
  • Joly Patrick
  • Poirier Christine
  , 1996. In this article, we propose a new numerical method for the computation of electromagnetic modes in an optical fiber. The main difficulty lies in the fact that we have to solve an eigenvalue problem posed in $\Rm^2$. We reduce the problem to a disc with the help of the introduction of non local boundary operators that can be expressed in terms of Fourier series. A particular attention is drawn to the respect of the free divergence condition. Finally, our method is reduced to the resolution of a series of fixed point equations related to the eigenvalues of some self-adjoint operators with compact resolvent.
• The Perfectly Matched Layer in Curvilinear Coordinates
  
  • Collino Francis
  • Monk Peter
  , 1996. In 1994 Bérenger showed how to construct a perfectly matched absorbing layer for the Maxwell system in rectilinear coordinates. This layer absorbs waves of any wave-length and any frequency without reflection and thus can be used to artificially terminate the domain of scattering calculations. In this paper we show how to derive and implement the Bérenger layer in curvilinear coordinates (in two space dimensions). We prove that an infinite layer of this type can be used to solve time harmonic scattering problems. We also show that the truncated Bérenger problem has a solution except at a discrete set of exceptional frequencies (which might be empty). Finally numerical results show that the curvilinear layer can produce accurate solutions in the time and frequency domain.
• Stabilité des conditions aux limites pour l'équation des ondes par des méthodes énergetiques : le cas des bords courbes
  
  • Joly Patrick
  • Vacus Olivier
  , 1996. Ha Duong et Joly ont étudié par des méthodes énergétiques la stabilité de conditions aux limites pour l'équation des ondes dans le cas du demi-espace homogène. Ils considéraient donc un bord droit infini. Ce rapport constitue un prolongement de leurs travaux, où seront étudiées les frontières courbes suffisamment régulières d'ouverts bornés de $R^2$. Nous reprenons leurs démonstrations en les adaptant du fait de la courbure du bord ; on établit de nouveau un résultat de stabilité forte au sens de Kreiss pour une famille de conditions à l'aide de nouvelles estimations a priori. Les conditions de stabilité sont similaires à celles établies pour le bord droit.
• Singularités de frontière et conditions limites absorbantes : le problème du coin
  
  • Vacus Olivier
  , 1996. Ce rapport constitue une généralisation de la solution au problème du coin apportée par Bamberger, Joly, Roberts et une alternative à la solution proposée par F. Collino. On souhaite étendre aux conditions limites absorbantes (CLA) d'ordre quelconque les résultats obtenus à l'ordre 2. Dans un premier temps, on constate que la démonstration de l'existence d'une solution infiniment régulière est possible dans certain cas. Nous démontrons aussi la décroissance de certaines énergies «d'ordre supérieur» à celui des conditions de bords, résultats à rapprocher de ceux de Ha Duong et Joly ou de Dong Woo Sheen, ce qui établit en particulier l'unicité des solutions régulières. Enfin, on aborde l'épineuse question des conditions de coins, destinées à assurer la régularité des solutions du problème du coin. Nous montrons comment déterminer à tout ordre de telles conditions et présentons un algorithme permettant de les calculer.