Publications

2003

• Time-domain simulation of a guitar : Model and method
  
  • Bécache Eliane
  • Chaigne Antoine
  • Derveaux Grégoire
  • Joly Patrick
  Journal of the Acoustical Society of America, Acoustical Society of America, 2003, 114 (6), pp.3368 - 3383. This paper presents a three-dimensional time-domain numerical model of the vibration and acoustic radiation from a guitar. The model involves the transverse displacement of the string excited by a force pulse, the flexural motion of the soundboard, and the sound radiation. A specific spectral method is used for solving the Kirchhoff-Love's dynamic top plate model for a damped, heterogeneous orthotropic material. The air-plate interaction is solved with a fictitious domain method, and a conservative scheme is used for the time discretization. Frequency analysis is performed on the simulated sound pressure and plate velocity waveforms in order to evaluate quantitatively the transfer of energy through the various components of the coupled system: from the string to the soundboard and from the soundboard to the air. The effects of some structural changes in soundboard thickness and cavity volume on the produced sounds are presented and discussed. Simulations of the same guitar in three different cases are also performed: "in vacuo," in air with a perfectly rigid top plate, and in air with an elastic top plate. This allows comparisons between structural, acoustic, and structural-acoustic modes of the instrument. Finally, attention is paid to the evolution with time of the spatial pressure field. This shows, in particular, the complex evolution of the directivity pattern in the near field of the instrument, especially during the attack. (10.1121/1.1629302)
  DOI : 10.1121/1.1629302
• Measures of Transverse Paths in Sub-Riemannian Geometry
  
  • Falbel Elisha
  • Jean Frédéric
  Journal d'analyse mathématique, Springer, 2003, 91 (1), pp.231-246. We define a class of lengths of paths in a sub-Riemannian manifold. It includes the length of horizontal paths but also measures the length of transverse paths. It is obtained by integrating an infinitesimal measure which generalizes the norm on the tangent space. This requires the definition and the study of the metric tangent space (in Gromov's sense). As an example, we compute those measures in the case of contact sub-Riemannian manifolds. (10.1007/BF02788789)
  DOI : 10.1007/BF02788789
• Numerical solution to the time-dependent Maxwell equations in axisymmetric singular domains: The Singular Complement Method
  
  • Assous Franck
  • Ciarlet Patrick
  • Labrunie Simon
  • Segré Jacques
  Journal of Computational Physics, Elsevier, 2003, 191 (1), pp.147-176. In this paper, we present a method to solve numerically the axisymmetric time-dependent Maxwell equations in a singular domain. In [Math. Methods Appl. Sci. 25 (2002) 49; Math. Methods Appl. Sci. 26 (2003) 861], the mathematical tools and an in-depth study of the problems posed in the meridian half-plane were exposed. The numerical method and experiments based on this theory are now described here. It is also the generalization to axisymmetric problems of the Singular Complement Method that we developed to solve Maxwell equations in 2D singular domains (see [C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330 (2000) 391]). It is based on a splitting of the space of solutions in a regular subspace, and a singular one, derived from the singular solutions of the Laplace problem. Numerical examples are finally given, to illustrate our purpose. In particular, they show how the Singular Complement Method captures the singular part of the solution. (10.1016/S0021-9991(03)00309-7)
  DOI : 10.1016/S0021-9991(03)00309-7
• Rayonnement acoustique dans un fluide en écoulement : analyse mathématique et numérique de l'équation de Galbrun
  
  • Legendre Guillaume
  , 2003. Les travaux de cette thèse concernent la simulation numérique de la propagation acoustique dans un fluide en écoulement, en régime périodique établi. Le modèle retenu est l'équation de Galbrun, qui modélise la propagation linéaire d'ondes en présence d'un écoulement de fluide parfait en évolution adiabatique et porte sur le déplacement lagrangien. L'analyse mathématique montre qu'une méthode d'éléments finis nodaux ne permet pas, en général, d'approcher la solution de l'équation, les résultats étant alors fortement pollués par des modes numériques "parasites". Dans la première partie de la thèse, nous proposons une méthode de régularisation de l'équation pour laquelle nous prouvons la convergence d'une approximation par éléments finis nodaux pour des problèmes de diffraction dans un conduit en présence d'écoulements subsoniques uniforme ou cisaillé. La deuxième partie du document est consacrée à la construction et l'étude de couches absorbantes parfaitement adaptées, dites PML, pour le rayonnement d'une source localisée en présence d'un écoulement uniforme et dans un conduit. Nous traitons successivement le cas d'une source irrotationnelle, qui conduit à un problème scalaire, et celui d'une source quelconque. Un principe d'absorption limite est établi dans le cas général et nous démontrons un résultat de convergence exponentielle de la méthode de PML en fonction de la longueur des couches. Des résultats numériques illustrant ces approches sont présentés.
• A conservative space-time mesh refinement method for the 1-D wave equation. I. Construction.
  
  • Collino Francis
  • Fouquet Thierry
  • Joly Patrick
  Numerische Mathematik, Springer Verlag, 2003, 95 (2), pp.197-221. We propose a new method for space-time refinement for the 1-D wave equation. This method is based on the conservation of a discrete energy through two different discretization grids which guarantees the stability of the scheme. Our approach results in a non-interpolatory scheme whose stability condition is not affected by the transition between the two grids. (10.1007/s00211-002-0446-5)
  DOI : 10.1007/s00211-002-0446-5
• Stability of perfectly matched layers, group velocities and anisotropic waves.
  
  • Bécache Eliane
  • Fauqueux Sandrine
  • Joly Patrick
  Journal of Computational Physics, Elsevier, 2003, 188 (2), pp.399-433. Perfectly matched layers (PML) are a recent technique for simulating the absorption of waves in open domains. They have been introduced for electromagnetic waves and extended, since then, to other models of wave propagation, including waves in elastic anisotropic media. In this last case, some numerical experiments have shown that the PMLs are not always stable. In this paper, we investigate this question from a theoretical point of view. In the first part, we derive a necessary condition for the stability of the PML model for a general hyperbolic system. This condition can be interpreted in terms of geometrical properties of the slowness diagrams and used for explaining instabilities observed with elastic waves but also with other propagation models (anisotropic Maxwell's equations, linearized Euler equations). In the second part, we specialize our analysis to orthotropic elastic waves and obtain separately a necessary stability condition and a sufficient stability condition that can be expressed in terms of inequalities on the elasticity coefficients of the model. (10.1016/S0021-9991(03)00184-0)
  DOI : 10.1016/S0021-9991(03)00184-0
• Méthodes variationnelles, Domaines fictifs et conditions aux limites artificielles pour des problèmes hyperboliques linéaires. Applications aux ondes dans les solides
  
  • Bécache Eliane
  , 2003. Ce mémoire décrit mes travaux de recherche sur l'analyse mathématique et numérique de problèmes de propagation d'ondes. Le premier chapitre est consacré à des méthodes numériques pour la propagation ou la diffraction d'ondes élastiques dans des solides : (i) potentiels retardés dans des milieux élastiques homogènes isotropes, (ii) méthodes d'imagerie sismique par tomographie, (iii) équations paraxiales, (iv) éléments finis mixtes pour l'élasto-dynamique. Ce dernier point, (iv), le plus détaillé ici, s'inscrit dans une stratégie générale pour obtenir une méthode numérique performante pouvant traiter des milieux complexes (anisotropes, hétérogènes) avec des obstacles de géométrie quelconque. Il a été développé dans l'optique d'utiliser la méthode des domaines fictifs qui fait l'objet du deuxième chapitre. Après une description de cette méthode sur un problème modèle scalaire, elle est présentée tout d'abord pour un problème de diffraction d'ondes élastiques par une fissure modélisée soit par une condition de surface libre soit par une condition de contact unilatéral, puis pour un problème d'acoustique musicale (modélisation de la guitare). Le troisième chapitre traite de questions de conditions aux limites artificielles utilisées pour borner le domaine de calcul. Des méthodes de couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) sont analysées pour des problèmes transitoires (électromagnétisme, acoustique, élasto-dynamique, système hyperbolique général du premier ordre) puis pour un problème d'acoustique en écoulement en régime harmonique. Le mémoire se termine par un point sur les travaux en cours et des perspectives ouvertes par ces travaux.
• Recent results on the stability of anisotropic stellar systems
  
  • Perez Jérôme
  • Aly Jean-Jacques
  , 2003. We present a new approach to deal with the problem of stability of collisionless stelar systems. This technique based on the symplectic struc-ture of the Vlasov-Poisson system allow us to have a new stability criteria for general systems very usefull in the anisotropic spherical case.
• Eléments finis mixtes spectraux et couches absorbantes parfaitement adaptées pour la propagation d'ondes élastiques en régime transitoire
  
  • Fauqueux Sandrine
  , 2003. Nous nous intéressons à la propagation d'ondes en milieu élastique non-borné. Nous développons une nouvelle formulation mixte H(div)-L2 du système de l'élastodynamique linéaire et lui appliquons la "méthode des éléments finis mixtes spectraux". Cette nouvelle méthode permet, par un choix judicieux d'espaces d'approximation et une condensation de masse, d'obtenir un schéma explicite de stockage réduit, en donnant la même solution que la méthode des éléments finis spectraux. Nous introduisons ensuite des couches absorbantes parfaitement adaptées pour modéliser les milieux non-bornés. Des phénomènes d'instabilité sont révélés et analysés pour certains matériaux élastiques 2D. La méthode numérique obtenue est validée et testée sur des modèles réalistes en acoustique et élastique. Une analyse par ondes planes donne des résultats de dispersion numérique et montre la supériorité des maillages adaptés aux vitesses du milieu. Enfin, une extension au couplage fluide-structure 2D est mise en place.
• La Méthode du Complément Singulier pour des problèmes scalaires 2d
  
  • Ciarlet Patrick
  • He Jiwen
  Comptes Rendus. Mathématique, Académie des sciences (Paris), 2003, 336 (4), pp.353-358. Nous présentons une méthode d'approximation qui permet de retrouver l'estimation d'erreur optimale, lorsqu'elle est utilisée avec la méthode usuelle des Eléments Finis de Lagrange P1, dans des domaines bidimensionnels non-convexes. Celle-ci peut-être appliquée aux équations de Poisson, de la chaleur ou des ondes scalaires, ainsi qu'à des problèmes similaires à coefficients constants par morceaux. (10.1016/S1631-073X(03)00030-X)
  DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00030-X
• Solution of axisymmetric Maxwell equations
  
  • Assous Franck
  • Ciarlet Patrick
  • Labrunie Simon
  Mathematical Methods in the Applied Sciences, Wiley, 2003, 26 (10), pp.861-896. In this article, we study the static and time-dependent Maxwell equations in axisymmetric geometry. Using the mathematical tools introduced in (Math. Meth. Appl. Sci. 2002; 25: 49), we investigate the decoupled problems induced in a meridian half-plane, and the splitting of the solution in a regular part and a singular part, the former being in the Sobolev space H1 component-wise. It is proven that the singular parts are related to singularities of Laplace-like or wave-like operators. We infer from these characterizations: (i) the finite dimension of the space of singular fields; (ii) global space and space-time regularity results for the electromagnetic field. This paper is the continuation of (Modél. Math. Anal. Numér. 1998; 32: 359, Math. Meth. Appl. Sci. 2002; 25: 49). Copyright © 2003 John Wiley & Sons, Ltd. (10.1002/mma.400)
  DOI : 10.1002/mma.400
• Generic properties of singular trajectories
  
  • Chitour Yacine
  • Jean Frédéric
  • Trélat Emmanuel
  Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique, Elsevier, 2003, 337 (1), pp.49--52. We give genericity results for singular trajectories in sub-Riemannian geometry: generically (in the sense of the Whitney topology), every singular trajectory is of minimal order and of corank 1 and in particular is not of Goh type if the rank of the distribution is greater or equal to 3. We extend these results to control-affine systems.
• A Conservative Space-time Mesh Refinement Method for the 1-D Wave Equation. Part II : Analysis
  
  • Collino Francis
  • Fouquet Thierry
  • Joly Patrick
  Numerische Mathematik, Springer Verlag, 2003, 95 (2), pp.223-251. We introduced in [2] a new method for space-time refinement for the 1-D wave equation. This method is based on the conservation of a discrete energy through two different discretization grids which guarantees the stability of the scheme. In this second part, we analyse the accuracy of this scheme in a detailed way by means of a plane wave analysis and numerical experiments that permit us to point out spurious numerical phenomena and explain how to control them. (10.1007/s00211-002-0447-4)
  DOI : 10.1007/s00211-002-0447-4
• Génération d'aléa en cryptographie
  
  • Loidreau Pierre
  MISC - Le journal de la sécurité informatique, Lavoisier, 2003, 6.
• Lectures on Classical Fields and Quantum Mechanics. Part I
  
  • Komech Alexander
  , 2003, pp.85. These notes have been finished at INRIA during my visit of the project ONDES in January-February 2003. They correspond to a one-term course given at the University of Vienna in 2002 year. The aim of the notes is to give an introduction to Classical Field Theory and Quantum Mechanics for mathematicians. We start with the Lagrangian and Hamiltonian Theory of finite-dimensional systems and general nonlinear wave equations. Next we prove the Noether Theory of Invariants for the Fields and expose the Lagrangian form of the Maxwell Electrodynamics. Then we give a concise introduction of the Schrödinger Equation for the electron in the Maxwell Field: the equation describes the particle-like properties of cathode rays through the short-wave WKB-asymptotics. Finally, we apply the Schrödinger Equation to the derivation of spectrum of Hydrogen atom, dipole radiation and selection rules in a uniform magnetic field.
• Modélisation de la propagation d'ondes dans les milieux viscoélastiques linéaires : I. Analyse mathématique
  
  • Bécache Eliane
  • Ezziani Abdelaâziz
  • Joly Patrick
  , 2003. Nous nous intéressons à la modélisation de la propagation d'ondes dans des milieux viscoélastiques. Ce premier rapport est consacré à la présentation d'une classe de modèles généralisant le modèle de Zener et à son analyse mathématique : résultats d'existence et d'unicité, régularité des solutions, décroissance de l'énergie, propagation à vitesse finie. Un deuxième rapport sera consacré à la présentation et à l'analyse numérique d'une méthode d'approximation par éléments finis mixtes.
• Homogenized model for a laminar ferromagnetic medium
  
  • Haddar Houssem
  • Joly Patrick
  Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A, Mathematics, Royal Society of Edinburgh, 2003, 133 (3), pp.567--598. (10.1017/S0308210500002547)
  DOI : 10.1017/S0308210500002547
• Selective Acoustic Focusing Using Time-harmonic Reversal Mirrors
  
  • Hazard Christophe
  • Ramdani Karim
  , 2003, pp.28. A mathematical study of the focusing properties of acoustic fields obtained by a time-reversal process is presented. The case of time-harmonic waves propagating in a non-dissipative medium containing sound-soft obstacles is considered. In this context,the so-called D.O.R.T. method ("Decomposition of the Time-Reversal Operator" in french) was recently proposed to achieve selective focusing by computing the eigenelements of the time-reversal operator. The present paper describes a justification of this technique in the framework of the far field model, i.e., for an ideal time-reversal mirror able to reverse the far field of a scattered wave. Both cases of closed and open mirrors, that is, surrounding completely or partially the scatterers, are dealt with. Selective focusing properties are established by an asymptotic analysis for small and distant obstacles.
• A representation result for Gamma-limit of supremal functionals
  
  • Briani Ariela
  • Prinari Francesca
  Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Yokohama, 2003, 2, pp.245-268. In this paper we prove a representation result for the weak L infinity Gamma-limit of a sequence of supremal functionals $F_n(u): =ess \: sup_{x \: in \: A} f_n(x,u(x))$ where A is a subset of $R^n$ and u a function in L infinity (from A to $R^N$). This Gamma-limit is still a supremal functional and we give an explicit formula to obtain it. The basic tools we use are the definition of level convexity and the related notion of duality introduced by Volle.
• Système de Stokes avec flux de vitesse et pression imposés
  
  • Ciarlet Patrick
  Comptes Rendus. Mathématique, Académie des sciences (Paris), 2003, 337 (2), pp.119-124. Dans cette Note, nous étudions le système de Stokes avec flux de vitesse et pression imposés, dans un domaine borné, à bord régulier par morceaux. (10.1016/S1631-073X(03)00270-X)
  DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00270-X
• Étude théorique et numérique de problèmes dynamiques de contact dans un milieu fissuré
  
  • Scarella Gilles
  • Bécache Eliane
  • Cocou Marius
  • Joly Pascal
  , 2003.
• Entropy and complexity of a path in sub-Riemannian geometry
  
  • Jean Frédéric
  ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, EDP Sciences, 2003, 9 (-), pp.485-508. We characterize the geometry of a path in a sub-Riemannian manifold using two metric invariants, the entropy and the complexity. The entropy of a subset A of a metric space is the minimum number of balls of a given radius ? needed to cover A. It allows one to compute the Hausdorff dimension in some cases and to bound it from above in general. We define the complexity of a path in a sub-Riemannian manifold as the infimum of the lengths of all trajectories contained in an ?-neighborhood of the path, having the same extremities as the path. The concept of complexity for paths was first developed to model the algorithmic complexity of the nonholonomic motion planning problem in robotics. In this paper, our aim is to estimate the entropy, Hausdorff dimension and complexity for a path in a general sub-Riemannian manifold. We construct first a norm || * ||? on the tangent space that depends on a parameter ? > 0. Our main result states then that the entropy of a path is equivalent to the integral of this ?-norm along the path. As a corollary we obtain upper and lower bounds for the Hausdorff dimension of a path. Our second main result is that complexity and entropy are equivalent for generic paths. We give also a computable sufficient condition on the path for this equivalence to happen. © EDP Sciences, SMAI 2003. (10.1051/cocv:2003024)
  DOI : 10.1051/cocv:2003024
• Some observations on generalized saddle-point problems
  
  • Ciarlet Patrick
  • Huang Jianguo
  • Zou Jun
  SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003, 25 (1), pp.224-236. This paper studies the solvability and stability of a generalized saddle-point system in finite- and infinite-dimensional spaces. Sharp solvability conditions and stability estimates are derived. Copyright © 2003 Society for Industrial and Applied Mathematics (10.1137/S0895479802410827)
  DOI : 10.1137/S0895479802410827
• An Analysis of Higher Order Boundary Conditions for the Wave Equation.
  
  • Diaz Julien
  • Joly Patrick
  , 2003. Thanks to the use of the Cagniard-De Hoop method, we derive an analytic solution in the time domain for the half-space problem associated with the wave equation with Engquist-Majda higher order boundary conditions. This permits us to derive new convergence results when the order of the boundary condition tends to infinity, as well as error estimates. The theory is illustrated by numerical results.
• Perfectly matched layers for the convected Helmholtz equation
  
  • Bécache Eliane
  • Bonnet-Ben Dhia Anne-Sophie
  • Legendre Guillaume
  , 2003. In this paper, we propose and analyze perfectly matched absorbing layers for a problem of time harmonic acoustic waves propagating in a duct in presence of a uniform flow. The absorbing layers are designed for the pressure field, satisfying the convected scalar Helmholtz equation. A difficulty, compared to the Helmholtz equation, comes from the presence of so-called inverse upstream modes which become unstable, instead of evanescent, with the classical Bérenger's PMLs. We introduce here a new PML model which makes all outgoing waves evanescent. We then analyse the error due to the truncation of the domain and prove that the convergence is exponential with respect to the size of the layers, for both the classical and the new PML models. Numerical validations are finally presented.