Master 2 Analyse Modélisation Simulation (AMS)

Prérequis

bases d’algèbre linéaire numérique et d’algorithmique; programmation avec le langage C++ (suivre le cours O12 en parallèle de celui-ci est suffisant)

Descriptif

Le calcul scientifique parallèle permet de résoudre des problèmes mathématiques en tirant parti de la puissance des machines de calcul parallèles (i.e. clusters composés de plusieurs processeurs). Il s’agit d’un outil essentiel de la recherche et de l’industrie, utilisé dans des domaines aussi variés que la physique, le génie civil, la climatologie, l’aéronautique et la finance. Pour traiter des problèmes de taille et de complexité croissante avec précision, il est indispensable d’exploiter au mieux les architectures parallèles en adaptant les algorithmes de résolution numérique pour permettre un calcul parallèle efficace.

L’objectif de ce cours est d’introduire les aspects théoriques et pratiques du calcul scientifique parallèle à mémoire distribuée, avec un accent sur la résolution numérique parallèle de problèmes d’équations aux dérivées partielles. Le cours débutera par une introduction à l’algorithmique parallèle et à la programmation parallèle avec la bibliothèque MPI (Message Passing Interface). Ensuite, on s’intéressera à la résolution parallèle efficace de systèmes linéaires de grande taille, notamment issus de discrétisation par différences finies. Enfin, on abordera la résolution de problèmes non-structurés issus de discrétisations par élements finis. Le cours comprends des TPs d’initiation à MPI en C++ et des séances de mise en œuvre parallèle.

Évaluation sur base de deux projets de calcul scientifique parallèle. Questions théoriques lors de la soutenance orale du 2e projet. Les exercices et les projets sont réalisés en utilisant les machines personnelles des étudiant·e·s. Chaque étudiant·e doit apporter sa machine personnelle dès la première séance.

Site Internet du cours: https://ams301.pages.math.cnrs.fr/

Contenu

• Concepts de base du calcul scientifique parallèle
  • Introduction aux architectures de calcul et aux algorithmes parallèles
  • Algorithmes parallèles élémentaires (intégration numérique, différences finies 1D, algèbre linéaire dense)
  • Analyse de la performance parallèle
• Résolution parallèle de systèmes linéaires : Méthodes directes (factorisation LU et approches par blocs) et Méthodes itératives (méthodes stationnaires et instationnaires)
• Résolution parallèle de problèmes d’équations aux dérivées partielles
  • Systèmes linéaires issus d’une discrétisation par différences finies ou par éléments finis
  • Introduction aux méthodes de décomposition de domaine
• Initiation à la programmation parallèle avec MPI en C++; TPs et projets de calcul scientifique parallèles

Références bibliographiques

• F. Magoulès, F.-X. Roux, Calcul scientifique parallèle, Dunod, 2013.
• Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, SIAM, 2003.

Prérequis

Bases d’analyse fonctionnelle et de méthodes variationnelles

Descriptif

Ce cours est consacré à l’introduction des concepts de base de l’homogénéisation des matériaux ayant une micro- structure périodique. Lorsque la période de la microstructure est faible par rapport à la taille du matériau (par exemple, dans des mousses, des matériaux composites, etc.), la question est de savoir si on peut trouver un modèle effectif qui rend compte du comportement macroscopique de ce matériau.

Nous nous concentrons dans le cours sur les modèles qui sont donnés par une équation aux dérivées partielles (EDP) avec des coefficients périodiques. D’un point de vue mathématique, les équations et leur solution sont paramètrées par la période et le problème est d’étudier la limite, si elle existe, de la famille de solutions, quand la période tend vers 0. Est ce que cette limite est solution d’une EDP limite? Dans ce cas, les coefficients caractérisent alors le milieu effectif.

Parmi les méthodes théoriques classiques utilisées pour étudier ce genre de problèmes, nous nous concentrons sur la méthode de développement multi-échelle et la convergence double-échelle. Ces deux méthodes donnent des résultats de différentes saveurs, heuristique ou rigoureuse, et arrivent à être très complémentaires.

En effet, la méthode de développement multiéchelle fonctionne en postulant un ansatz pour la solution : celle-ci se développerait comme une série où chacun des termes sont recherchés les uns après les autres. L’existence d ’un tel développement est possible sous certaines hypothèses sur les coefficients. D’autre part, la théorie de la convergence double-échelle de N’Guetseng et Allaire permet une approche complète et rigoureuse, sous des hypothèse beaucoup moins restrictives.

Nous prévoyons également de fournir aux étudiants quelques éléments sur la Gamma convergence qui sont liés au sujet.

Des séances de travaux pratiques sont prévues.

L’évaluation se fera par les comptes rendus de TP et un examen écrit à la dernière séance.

Prérequis

Analyse fonctionnelle appliquée, formulations variationnelles, analyse numérique élémentaire

Descriptif

On s’intéressera à la résolution théorique et numérique des problèmes linéaires issus de la modélisation de phénomènes physiques divers, s’écrivant sous la forme d’équations aux dérivées partielles complétées de conditions aux limites. On traitera principalement les modèles suivants, en domaine borné : diffusion, équation de Helmholtz, problèmes avec contraintes (équation de Stokes), et enfin un problème plus exotique, issu de la modélisation de milieux non-standards en électromagnétisme, où les coefficients de l’équation changent de signe dans le domaine. On expliquera pourquoi l’étude de ces problèmes ne peut pas systématiquement être menée à l’aide des outils classiques, vus en première année de master, comme le théorème de Lax-Migram pour la formulation continue ou le lemme de Céa pour la discrétisation. Ceci nous conduira à introduire de nouveaux outils, qui permettront d’établir des résultats similaires (caractère bien posé du problème continu, stabilité et convergence du problème discret) dans un cadre élargi. De façon plus précise, ce cours traitera des trois aspects principaux suivants :
1) construction de formulations variationnelles. Pour cela on rappellera les notions de base, autour des distributions, des espaces fonctionnels d’énergie, et des formules d’intégration par parties ;
2) résolution mathématique rigoureuse de ces formulations à l’aide du théorème de Lax-Milgram généralisé (T-coercivité), également connu sous le nom de théorie de Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi (condition inf-sup) ;
3) techniques de discrétisation et analyse numérique : condition inf-sup discrète (ou T-coercivité discrète), lemme de Céa généralisé, éléments finis, éléments finis mixtes, etc.

Contenu

• Rappels d’analyse fonctionnelle
• Construction de formulations variationnelles pour la diffusion (avec une ou deux inconnues)
• Discrétisation de la diffusion : éléments finis de Lagrange, de Raviart-Thomas
• Formulation variationnelle pour l’équation de Helmholtz et sa résolution
• Problèmes mixtes, application au modèle de Stokes
• Résolution de problèmes avec changement de signe

Références

• B. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin, Mixed and hybrid finite element methods and applications, Springer, 2013.

Prérequis

Programmation en Matlab, notions sur les éléments finis

Descriptif

Les ondes acoustiques, mécaniques et électromagnétiques sont essentielles dans de nombreux aspects de notre vie quotidienne. Les ondes sonores facilitent la communication et les diagnostics médicaux. Les ondes mécaniques aident à comprendre les tremblements de terre et à concevoir des structures sûres. Les ondes électromagnétiques permettent les télécommunications et l’imagerie médicale. Dans ce cours nous présenterons une méthode numérique particulièrement adaptée à la simulation de la propagation des ondes dans des domaines non bornés : la méthode des éléments de frontière (BEM pour Boundary Element Method), basée sur la reformulation de l’EDP en une équation intégrale de frontière.

Nous commencerons par établir les formules de représentation intégrale ainsi que plusieurs équations intégrales de frontière, pour les ondes acoustiques en régime harmonique. Lors des séances de TP nous mettrons en oeuvre (avec Matlab et en partant de zéro) la méthode de résolution numérique de ces équations, la BEM. Les outils utilisés seront proches des outils utilisés pour les éléments finis.

La BEM aboutit à un système plein contrairement aux éléments finis. Il faut donc développer des notions poussées en algorithmique pour pouvoir appliquer ces méthodes pour des cas réalistes. Nous présenterons ces algorithmes modernes de résolution rapide des BEMs : méthodes d’approximation de rang faible, méthodes de matrices hiérarchiques et méthodes multipoles rapides. Lors des séances de TP nous illustrerons l’intérêt de ces méthodes en accélérant le code BEM développé dans la première partie du cours.

Pour terminer, nous montrerons comment ces techniques peuvent être utilisées pour déterminer les architectures optimales pour les méthodes de résolution basées sur les réseaux de neurones.

L’évaluation du cours est basée sur 2 TPs à rendre (par groupes de 2) et un examen d’une heure.

Contenu

• CM et TP: Introduction et présentation des Représentations Intégrales.
• TP: Mise en oeuvre de la Représentation Intégrale de frontière
• CM: Présentation des Équations Intégrales de frontière. TP: Résolution numérique
• CM et TP: Approximations de rang faible
• CM et TP: Accélération de la BEM avec les Méthodes de matrices hiérarchiques
• TP: Accélération de la BEM avec les Méthodes de matrices hiérarchiques
• TP: Méthodes de matrices hiérarchiques
• CM et TP: Lien entre Méthode Multipôle Rapide et architecture des Réseaux de Neurones
• CM et TP: Lien entre Méthode Multipôle Rapide et architecture des Réseaux de Neurones. Examen écrit

Références

• M. Bebendorf, Hierarchical matrices, Springer, 2008.
• G.H. Golub and C.H. Van Loan, Matrix Computations, J. Hopkins Univ. Press, 2013.
• J.-C. Nédélec, Acoustic and Electromagnetic Equations, Springer, 2001.
• Y. Fan, L. Lin, L. Ying, L. Zepeda-Núnez. A multiscale neural network based on hierarchical matrices. Multiscale Modeling & Simulation. 17(4):1189-213, 2019.

Prérequis

Bonnes connaissances en analyse fonctionnelle, connaissances de base sur les équations aux dérivés partielles

Descriptif

Ce cours est une introduction aux problèmes inverses gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Les problèmes inverses surviennent dans de nombreux secteurs de l’industrie (contrôle non destructif, propection pétrolière, détection RADAR/SONAR,...) ou de la médecine (imagerie médicale, détection de tumeurs ou d’infarctus, assimilation de données des patients,...) ou des sciences environmentales (estimation météorologique ou climatique). Il s’agit de reconstruire des conditions aux limites (en espace et en temps) manquantes (problème de complétion de données) ou des caractéristiques du modèle (problème d’identification) dans une première zone géométrique (en général inaccessible) à partir de données surabondantes dans une seconde (accessible à la mesure). Ces problèmes inverses sont mal posés en général, les problèmes de complétion de données étant linéaires, les problèmes d’identification non-linéaires, d’où une distinction que nous faisons entre ces deux types de problème. Nous avons choisi pour décrire les problèmes inverses des outils communs avec ceux de la théorie du contrôle. Par ailleurs, on étudie principalement les aspects mathématiques, mais les méthodes proposées sont particulièrement adaptées à la résolution numérique, nécessaire à l’application concrète des méthodes de reconstruction.

Contenu

• Rappels d’analyse fonctionnelle (opérateurs, théorie spectrale, semi-groupes)
• Problèmes linéaires mal posés et régularisation par moindres carrés (notion de problème mal posé, régularisation de Tikhonov, principe de Morozov);
• Problèmes de complétion de données : exemples (problèmes de Cauchy du Laplacien, équation d’évolution avec données de Cauchy latérales, équation de la chaleur rétrograde, reconstruction d’une condition initiale pour l’équation des ondes);
• Prolongement unique et questions d’unicité/observabilité (théorème de Holmgren et inégalité de Carleman, méthode des multiplicateurs);
• Problèmes de complétion de données : méthodes de résolution (approches type quasiréversibilité, contrôle optimal et variante Kohn-Vogelius, estimation variationnelle pour les problèmes d’évolution et applications á l’équation des ondes et de la chaleur);
• Problèmes d’identification non linéaires : exemples, questions d’unicité (problème inverse de Robin, problèmes inverses géométriques)
• Problèmes d’identification non linéaires : méthode de résolution (contrôle optimal, initiation aux lignes de niveau et à la dérivée de forme).

Références

• A. Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer, 1996.
• J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte Pertubations et Stabilité de systèmes distribués, Masson, 1988.

Prérequis

Calcul différentiel, analyse fonctionnelle, un peu d’analyse numérique

Descriptif

Les technologies actuelles cherchent de plus en plus à traiter des systèmes complexes, constitués par un grand nombre de paramètres liés les uns aux autres par une structure bien déterminée. Un autre aspect de l’évolution générale est aussi la recherche de performances évoluées (notion de productivité, de coût, de qualité des produits, ...) et des performances optimales (aller sur la lune en consommant le minimum de carburant, planifier une économie de façon optimale, etc). L’objectif de ce cours est de présenter les méthodes théoriques et numériques de la commande optimale permettant de résoudre certains systèmes complexes.

Le cours magistral est accompagné de quelques séances de travaux dirigés et de travaux pratiques, durant lesquelles les étudiants mettent en oeuvre sur un cas concret quelques méthodes numériques étudiées.

Le cours sera donné en anglais.

Contenu

• Introduction: examples, differential calculus in functional spaces.
• Pontryagin’s principle (PMP).
• Applications of the PMP.
• Minimal time function, optimal synthesis (linear case).
• Shooting methods.
• Minimal time function, optimal synthesis (nonlinear case).
• State constraints (PMP). Beginning of the Master part of the course.
• Practical class (gradient methods for optimal control problems) - End of the ENSTA part of the course.
• State constraints and shooting.
• HJB approach for optimal control. Value function, dynamic programming principle.
• Singular arcs.
• HJB equations, verification theorem, viscosity solutions, numerical analysis.
• Written exam.

Prérequis

Bases d’analyse fonctionnelle

Descriptif

Le but de ce cours est de présenter les outils principaux de l’analyse spectrale des opérateurs autoadjoints non-bornés avec applications aux opérateurs différentiels. On introduira un calcul fonctionnel de tels opérateurs et une classification de leurs spectres, et on présentera des techniques permettant d’étudier les propriétés spectrales des opérateurs différentiels en fonctions de leurs coefficients : analyse des opérateurs compacts, principe variationnel, notions de la théorie des perturbations. Ensuite on appliquera ces techniques à l’étude des valeurs propres associées à certains problèmes aux limites.

The objective of this course is to present the main tools of the spectral analysis of unbounded self-adjoint operators with applications to differential operators. We will introduce a functional calculus of such operators and a classification of their spectra, and then we will present some techniques allowing one to understand spectral properties of differential operators in terms of their coefficients : analysis of compact operators, variational principle, notions of the perturbation theory. This machinery will be then applied to the study of eigenvalues associated with some boundary value problems.

Prérequis

Bases d’analyse fonctionnelle, théorie des distributions, transformée de Fourier

Descriptif

Ce cours présente la quantification semiclassique sur l’espace euclidien, qui débouche sur la construction d’une classe d’opérateurs linéaires différentiels ou pseudo-différentiels, dépendant d’un petit paramètre (le paramètre de Planck 0 < h ≪ 1). L’idée centrale est de faire correspondre à chaque opérateur son “symbole” (une fonction sur l’“espace des phases”), et de se servir de ce symbole pour analyser l’opérateur. On étudiera les propriétés de composition de cette famille d’opérateurs, ainsi que l’action induite par l’équation de Schrödinger. On en déduira quelques propriétés spectrales (distribution des valeurs propres, localisation des fonctions propres), toujours dans le régime asymptotique h ≪ 1 (limite semiclassique). Ce formalisme est apparu initialement en mécanique quantique, il constitue un aspect de l’analyse microlocale utilisée pour analyser plusieurs types d’EDP dans le régime de haute fréquence.

These lectures present the semiclassical quantization on the Euclidean space. Its main objective is the contruction and study of a class of differential (or pseudodifferential) linear operators, which depend on a small parameter 0 < h ≪ 1 (called “Planck’s parameter”). The main idea is to let correspond an operator to its “symbol”, a function on “phase space”, and use this symbol to analyze the properties of the operator. We will study the composition of two such operators, the action induced onto them by the Schrödinger equation. We will also deduce certain spectral properties of these operators (distribution of the eigenvalues, localization of the eigenfunctions), always in the asymptotic regime h ≪ 1 (semiclassical limit). This formalism initially appeared in quantum mechanics, but it is also part of the microlocal analysis of PDEs.

Prérequis

Bases d’analyse fonctionnelle

Contenu

Le cours abordera les sujets suivants:

• Régularité pour les équations elliptiques linéaires: régularité L^p, régularité holdérienne, régularité pour les équations à coefficients L^∞.
• Point fixe de Schauder, applications aux équations elliptiques semi-linéaires. Lien avec le calcul des variations.
• Eléments de théorie des bifurcations
• Méthodes de monotonie, applications aux p-Laplacien.
• Introduction aux solutions de viscosité

The course will deal with the following topics:

• Regularity theory for linear elliptic equations: L^p regularity, Holder regularity, regularity for equations with L^∞
• Schauder fixed point theorem, applications to semi linear elliptic equations. Link with the calculus of variations.
• Elements of bifurcation theory.
• Monotony methods, application to p-Laplace equations
• Introduction to viscosity solutions.

Prérequis

Cours de pré-rentrée en analyse fonctionnelle et analyse numérique.

Descriptif

La théorie quantique est un des accomplissements les plus remarquables de l’histoire des sciences, avec des applications allant de la physique la plus fondamentale (matière, rayonnement...) à la plus appliquée (électronique, calcul quantique...). D’un point de vue mathématique, c’est une théorie fascinante : elle est un terrain de jeux parfait pour l’application de théories mathématiques diverses, et a stimulé en retour le développement de nombreux domaines des mathématiques.

L’objectif de ce cours est de présenter les bases mathématiques de la théorie quantique, ainsi que quelques méthodes asymptotiques et numériques permettant la résolution approchée de ses équations. Il comporte des aspects de modélisation (application de la mécanique quantique à la structure de la matière), d’analyse mathématique (structure des équations et développements asymptotiques), et d’analyse numérique (convergence de schémas). Il sera complété par des TP (en Python) où les étudiants construiront un simulateur de systèmes quantiques 1D et l’utiliseront pour aborder des phénomènes physiques réalistes (liaison chimique, spectres d’absorption) sur un modèle simple.

Il n’est pas nécessaire d’avoir suivi un cours de mécanique quantique pour suivre ce cours. Les notions pertinentes de théorie spectrale seront données mais admises (elles font l’objet d’un cours séparé du master, qu’il est utile mais pas nécessaire de suivre pour suivre celui-ci).

Contenu

• Postulats de la mécanique quantique et exemples.
• Simulation numérique de systèmes quantiques. Application à la liaison chimique.
• Méthodes de perturbation indépendante et dépendante du temps. Application à l’interaction rayonnement-matière.
• Mécanique quantique à N corps : approximations et applications.

Descriptif

Le but de ce cours est de présenter quelques outils de base de l’analyse numérique des équations aux dérivés partielles. Nous aborderons la discrétisation des équations aux dérivés partielles par les méthodes des différences finies, des éléments finis et des volumes finis en dimension 2 d’espace, la mise en oeuvre de ces méthodes en Python et en Matlab, et certains aspects liés à cette mise en oeuvre, tels que la résolution de systèmes linéaires, le calcul de valeurs propres,... Nous aborderons aussi quelques propriétés des solutions discrètes et des méthodes numériques : stabilité, consistance, ordre et convergence.

The aim of this course is to present some tools for the numerical analysis of partial differential equations. We will address the discretization of PDEs by the finite differences, finite elements and finite volumes methods in 2D, the implementation of these methods with Python and Matlab, and some related aspects such as the resolution of linear systems and eigenvalues calculation,... We will also discuss on properties of the discrete solutions and of the numerical methods such as stability, consistency, order and convergence.

Prérequis

Intégration, calcul différentiel

Descriptif

Le but de ce cours est de rappeler des bases d’analyse fonctionnelle (en se rattachant toujours à des exemples concrets) et d’outils pour les EDP. On conclura par une étude des espaces de Sobolev et de certaines de leurs propriétés importantes.

Contenu

• Panorama des espaces de fonctions (C^k, L^p, L_loc^p, L_comp^p, 𝒮, C^∞(K)...) et de leurs topologies (espaces de Hilbert, de Banach, de Fréchet...)
• Espaces L^p (comme exemples d’espaces de Banach, théorèmes de Banach, dualité, réflexivité...)
• Distributions (espaces 𝒟′, ℰ′, 𝒮′, dérivation, convolution...)
• Transformée de Fourier (sur 𝒮, 𝒮′, L², utilisation pour la résolution d’EDP)
• Espaces de Sobolev (espaces W^k, p(ℝⁿ), H^s(ℝⁿ), W^k, p(Ω), injections de sobolev dans C^m et dans L^q, compacité, inégalité de Poincaré, théorèmes de trace, formule de Green-Stokes, résolution du problème de Dirichlet).

Prérequis

bases d’algèbre linéaire numérique, d’algorithmique et de programmation

Descriptif

Ce cours introduit le langage C++ et les bonnes pratiques de la programmation pour les mathématiques appliquées dans un environnement Linux. Le C++ est un langage incontournable dans de nombreux domaines comme le calcul scientifique, mais aussi par exemple dans le jeu vidéo, la finance et la gestion de base de données. Ce sont notamment sa portabilité et ses performances qui lui permettent d’être un langage utilisé dans de nombreux contextes.

L’objectif de ce cours est d’introduire des outils de base pour la programmation (environnement de développement, gestion de versions,…), des compétences donc transverses qui seront appliquées à l’apprentissage des bases du C++ et à la mise en place d’un projet informatique collaboratif.

Contenu

• Les deux premières séances se concentreront sur les outils pour la programmation et une introduction aux bases du C++
  1. Prise en main des outils pour la programmation et compilation en C++ :
     • Commandes de base du terminal,
     • Gestion de versions du code,
     • Utilisation de SSH,
     • Compilation manuelle.
  2. Base du C++ :
     • Allocation dynamique et statique de tableau :
     • Pointeurs et références
• Le deuxième bloc de séances introduira des notions plus avancées du C++, à savoir la programmation orientée objet et la bibliothèque standard C++ (STL, standard template library)
  1. Programmation orientée objet en C++ et automatisation de la compilation :
     • Makefile et CMakefile
     • classes, méthodes et opérateurs
  2. Conteneurs, itérateurs et algorithmes de la STL :
     • List, map, vector, …
     • Algorithmes de tris, de modifications, …
• Enfin, le dernier bloc sera constitué d’un miniprojet en groupe qui utilisera les différentes notions introduites précédemment.

Prérequis

Aucun

Descriptif

L’objectif de ce cours est de présenter différents systèmes mécaniques, ainsi que leur modélisation mathématique. Nous étudierons des modèles microscopiques (mécanique du point) et macroscopiques (membranes, fluides). Le cadre mathématique des modèles étudiés est celui de l’optimisation convexe et de l’optimisation convexe sous contrainte, en lien avec la minimisation d’énergie mécanique. Les résultats théoriques d’optimisation nécessaires à l’étude des modèles seront démontrés, permettant ainsi aux étudiants d’acquérir des compétences dans ce domaine.

Contenu

• Modélisation
  1. Modèles microscopiques : Principe fondamental de la Dynamique, énergie, modèles incluant des contraintes d’égalité ou d’inégalité
  2. Membrane élastique : Equation d’évolution, problème de l’obstacle
  3. Fluides : Conservation de la masse, de la quantité de mouvement, tenseur des contraintes, cas des fluides Newtoniens (Navier-Stokes, Stokes)
• Problèmes de minimisation sous contraintes d’égalité
  1. Cas sans contrainte, rappels : formulation variationnelle, théoréme de Lax- Milgram
  2. Contraintes d’égalité, théorie : Equation variationnelle, dualité, condition d’existence de multiplicateurs de Lagrange.
  3. Application aux modèles précédents
• Problèmes de minimisation sous contraintes d’inégalité
  1. Contraintes d’inégalité, théorie : inéquations variationnelles, dualité, condition d’existence de multiplicateurs de Lagrange.
  2. Application aux modèles précédents

Références

• Ern, A., & Guermond, J. L. (2002). Eléments finis : théorie, applica3ons, mise en oeuvre (Vol. 36). Springer Science & Business Media.
   
• Boyer, F., & Fabrie, P. (2012). Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models (Vol. 183). Springer Science & Business Media.
   
• Rodrigues, J. F. (1987). Obstacle problems in mathematical physics. Elsevier.

Prérequis

Méthodes numériques, analyse fonctionnelle

Descriptif

Ce cours a pour objectif d’apporter des éléments fondamentaux et avancées pour la simulation de phénomènes de propagation d’ondes et/ou des problèmes d’advection en régime transitoire. L’analyse mathématique présentée portera aussi bien sur les aspects continues que sur les aspects complètement discret. Les applications visées concernent les problèmes transitoires suivant : ondes acoustiques, élastodynamique, ondes électromagnétique, aéro-acoustique (ondes dans des fluides). Les thèmes abordés sont résumés ci-dessous:

• Analyses des systèmes hyperboliques symétriques en domaine borné.
  Résultats d’existence/unicité, analyses ondes planes, analyse par technique d’énergie.
• Technique de discrétisation en espace.
  Technique de Galerkin discontinus et élements finis spectraux d’ordre élevés.
• Technique de discrétisation en temps.
  Schémas saute-moutons, schémas d’ordre élevé (équation modifiée, Runge-Kutta).

Contenu

• Analyses des systèmes de Friedrich et équations d’ondes par la théorie de Hille-Yosida.
• Méthode de Galerkin discontinus, analyse semi-discrète, analyse de convergence, analyse de l’effet de l’erreur de quadrature.
• Utilisation d’éléments finis d’ordre élévés appelés éléments finis spectraux.
• Schémas en temps saute-moutons, analyse de stabilité.
• Construction et analyse par énergie de méthodes de Runge-Kutta pour les systèmes de Friedrich.

Références

• D. A. Pietro, A. Ern, Mathematical Aspects of Discontinuous Galerkin Methods, Springer, 2012.
• P. Joly, Chap. IV, Effective Computational Methods in Wave Propagation, CRC Press, 2010.
• G. Cohen, Higher-Order Numerical Methods for Transient Wave Equations, Springer-Verlag, 2004.

Prérequis

Analyse Hilbertienne, formulations variationnelles, analyse numérique élémentaire

Descriptif

On s’intéressera dans ce cours à la résolution de problèmes modélisant la diffraction d’une onde par un obstacle, en régime périodique établi. La difficulté principale est qu’un tel problème est posé dans un domaine non-borné, et que sa solution n’est pas de carré intégrable.

On considèrera dans le cours à la fois l’exemple le plus typique d’un obstacle borné dans l’espace libre, et celui plus spécifique où l’obstacle est placé dans un guide d’ondes infini. Ces deux configurations ont leur intérêt du point de vue des applications, aussi bien en électromagnétisme qu’en acoustique. Le cas des guides d’ondes présente un intérêt pédagogique, parce que les calculs peuvent y être menés de façon simple, et que certains phénomènes exotiques s’y produisent. On montrera comment formuler les problèmes de diffraction dans un domaine de calcul borné, en écrivant sur la frontière artificielle une condition transparente de type Dirichlet-to Neumann (DtN). On montrera ensuite que ces formulations relèvent de l’alternative de Fredholm, et on verra quels résultats de stabilité peuvent en être déduits. Enfin, on présentera différentes approches pour approcher numériquement de tels problèmes (condition aux limites de type DtN approchées, couches PML), et on établira des estimations de l’erreur due aux paramètres de discrétisation.
L’évaluation se fera par un examen écrit et le compte rendu d’un TP.

Contenu

• Problème de diffraction, champs incident, total et diffracté, condition de rayonnement de Sommerfeld.
• Guides d’ondes, modes propagatifs et évanescents, condition de rayonnement modale.
• Approx. de la condition transparente par une condition de Robin, alternative de Fredholm, th. de Holmgren.
• Condition transparente dans les guides d’ondes, opérateur de DtN, principe d’absorption limite.
• Condition transparente de type DtN pour l’espace libre, alternative de Fredholm, théorème de Rellich.
• Cas de non-unicité, modes piégés dans les guides d’ondes, conditions DtN avec recouvrement.
• Opérateur DtN approché, estimation d’erreur en fonction du nombre de modes conservés.
• Formulation avec couches PML dans un guide d’ondes, alternative de Fredholm, estimation d’erreur en fonction de l’épaisseur des couches. PML radiales et cartésiennes pour l’espace libre.
• Mise en oeuvre des différentes méthodes dans le code XLiFE++.

Références

• D. Givoli (1992), Numerical method for problems in infinite Domains, Elsevier Science Limited, Amsterdam.
• C. Goldstein (1982), A finite element method for solving scattering Helmholtz type equations in waveguides and other undbounded domains, Maths. of Comput., 39, 309-324.
• S. Kim (2019), Error analysis of PML-FEM approximations for the Helmholtz equation in waveguides. ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 53 (4), 1191-1222.
• V. Baronian , A.-S. Bonnet-BenDhia, S. Fliss, A. Tonnoir,(2016) Iterative methods for scattering problems in isotropic and anisotropic elastic waveguides, Wave Motion - vol. 64 (pp 13-33 )

Descriptif

Ce cours a pour objectif de présenter l’analyse et l’approximation des méthodes d’équations intégrales pour des problèmes harmoniques et transitoires.Ces méthodes connaissent un regain d’intérêt depuis quelques années grâce à de nouveaux algorithmes qui permettent de les rendre rapides et efficaces.

La première partie du cours sera consacrée à la présentation, à l’analyse et l’approximation des équations intégrales pour des problèmes elliptiques (Laplace, Helmholtz). Puis, la deuxième partie du cours abordera ces équations intégrales pour un problème hyperbolique modèle, l’équation des ondes. Ces équations intégrales en temps sont aussi appelées "potentiels retardés". L’analyse est assez différente du cas elliptique et repose sur la transformation de Laplace. En ce qui concerne l’approximation, nous présenterons une des méthodes les plus populaires, la méthode ’Convolution Quadrature’, initialement proposée par Christian Lubich en 1988.

L’évaluation consistera en un partiel écrit de 2h (séance 6) sur la première partie du cours et un projet sur la deuxième partie du cours (analyse d’article + petit exposé).

Contenu

• Introduction et motivation; le problème aux limites pour l’équation de Laplace dans un domaine non borné de ℝ³ et la formule de représentation.
• Potentiels de simple et double couche, opérateurs intégraux de frontière et leurs expressions intégrales.
• Opérateur de Calderòn. Dérivation des formulations intégrales et leur caractère bien posé.
• Formulations intégrales pour l’équation de Helmholtz et caractère bien posé. Combined Field Integral Formulation.
• Discrétisation des équations intégrales de frontière par la méthode de Galerkin pour l’équation de Laplace, stabilité et convergence.
• Discrétisation des équations intégrales de frontière pour l’équation de Helmholtz. Partiel.
• Problème aux limites pour l’équation des ondes dans un domaine de ℝ^d; Solution fondamentale et formule de représentation à l’aide des potentiels retardés.
• Transformée de Laplace pour les distributions tempérées causales: définition, propriétés
• Application de l’analyse de Laplace pour les estimations des opérateurs intégraux et l’analyse de stabilité des équations intégrales
• Discrétisation des équations intégrales de frontière pour l’équation des ondes en temps: la méthode de "convolution quadrature", stabilité et convergence.

Références

• Sauter, S., Schwab, Ch. Boundary Element Methods, Springer 2004
• Nédélec, J. -C. Acoustic and Electromagnetic Equations. Integral Representations for Harmonic Problems, Springer 2001
• Lubich, Ch. On the multistep time discretization of linear initial-boundary value problems and their boundary integral equations, Numerische Mathematik, 1994
• Sayas, F. Retarded Potentials and Time Domain Boundary Integral Equations, Springer, 2016

Prérequis

Analyse hilbertienne, méthode des éléments finis, un peu d’expérience en programmation

Descriptif

Lors d’une simulation haute performance, la taille des systèmes linéaires provenant de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles impose l’utilisation de méthodes de résolution itératives, pour lesquelles il est impératif d’avoir recours à une technique de préconditionnement afin de limiter le nombre d’itérations. Dans ce contexte, la décomposition de domaine (DD) est un paradigme de préconditionnement très répandu fondé sur une distribution des calculs selon un partitionnement de la géométrie du problème.

Ce cours propose une introduction à la décomposition de domaine par l’étude de certaines des méthodes les plus classiques, avec une part théorique d’analyse numérique et une part de mise en oeuvre effective avec des TPs. Nous commencerons par des considérations générales sur quelques méthodes de résolution itératives classiques, et en particulier les méthodes de Krylov du Gradient Conjugué Préconditionné (PCG) et Generalized Minimal Residual (GMRes). Puis nous introduirons le lemme de l’espace fictif, un résultat incontournable pour l’analyse de la performance des méthodes de DD. Nous étudierons la méthode de Schwarz Additive (ASM) pour la décomposition de domaine avec recouvrement, et les méthodes de sous-structuration Finite Element Tearing and Interconnecting (FETI) et Balancing Neumann-Neumann (BNN) pour la décomposition de domaine sans recouvrement. Nous conclurons par une présentation des Méthodes de Schwarz Optimisées (OSM) permettant de traiter les problèmes de propagation d’ondes.

Contenu

• Métodes de Krylov (PCG et GMRes)
• Lemme de l’espace fictif
• Méthodes de Schwarz additives (ASM)
• Sous-structuration (FETI et BNN)
• Méthodes de Schwarz Optimisées (OSM)

Références

• A.Toselli and O.Widlund, Domain decomposition methods. Springer Series in Computational Mathematics 34. Springer (2005).
• V.Dolean, P.Jolivet and F.Nataf, An introduction to domain decomposition methods. Society for Industrial and Applied Mathematics (2015).

Prérequis

Algorithmique, programmation parallèle (MPI), programmation en langage C (notions de C++).

Descriptif

La course à la puissance des ordinateurs est désormais couplée avec une maîtrise de la consommation de l’énergie et l’impact environnemental.

Désormais, les machines utilisées pour la simulation numérique sont souvent des supercalculateurs à plusieurs dizaines, centaines, voire milliers de processeurs multi-coeurs, éventuellement couplés avec des accélérateurs.

Ces nouvelles architectures amènent à repenser la façon dont les programmes de simulation sont écrits.

Ainsi, on peut imaginer que l’utilisation de la seule bibliothèque MPI pourra être limitée par un trop grand nombre de tâches à gérer simultanément, et qu’il faut alors utiliser plusieurs niveaux de parallélisme.

Le cours est organisé en séances de cours et d’applications pratiques au travers de TPs et permettra d’aborder les problématiques de la programmation hybride MPI+OpenMP ainsi que la programmation d’accélérateurs graphiques.

Contenu

• Evolution des architectures de calcul et des modèles de programmation (cours);
• Programmation en mémoire partagée à l’aide d’OpenMP (cours+TP);
• Programmation en mémoire partagée à l’aide d’autres outils que OpenMP (cours+TP);
• Programmation hybride MPI+OpenMP (cours+TP);
• Programmation de cartes graphiques (GPU) pour le calcul scientifique y compris programmation hybride OpenMP-GPU et MPI-GPU (cours+TP);

Références

Page web du cours: https://perso.ensta-paris.fr/∼tajchman

Prérequis

Analyse fonctionelle et numérique des EDPs, bases en probabilités

Descriptif

L’objectif de ce cours est de présenter des problèmes mathématiques récents apparaissant de façon transverse dans l’étude de techniques d’imagerie médicales reposant sur la physique des ondes. Nous commencerons par considérer différents régimes asymptotiques des équations d’ondes pour y mettre en évidence des paramètres physiologiques que l’on souhaite imager. Le problème de la diffusion d’une onde par un objet sera abordé via l’étude des équations intégrales associées. Nous introduirons ensuite des fonctionnelles de reconstruction d’images basées sur le principe de retropropagation. Une étude quantitative des performances (stabilité vis à vis de différents bruits, résolution…) de ces fonctionnelles sera menée. Nous aborderons dans les deux dernières séances de cours comment il est possible de contourner les limites fondamentales de ces méthodes en utilisant de la physique multi-onde. Mathématiquement, ces méthodes d’imageries dites hybrides reposent sur la résolution d’une nouvelle classe de problèmes inverses basés sur des systèmes d’équations couplées. La deuxième moitié du cours sera consacrée à l’implémentation pratique de problèmes inverses liés aux méthodes d’imagerie sous forme de projets en binôme. L’évaluation consistera en une soutenance orale de ces projets.

Contenu

• Propagation des ondes dans les tissus biologiques : présentation des équations et régimes asymptotiques associés [3h]
• Diffusion par des obstacles, formule de Kirchoff pour la rétropropagation, critère de Rayleigh et stabilité [6h]
• Physique multi-ondes :
  • corrélations de phases et Doppler : imager les mouvements [3h]
  • effet thermoacoustique et applications à la photoacoustique [3h]
• Projets [12h]
• Soutenance de projets [3h]

Références

• H. Ammari, J. Garnier, H. Kang, L. H. Nguyen and L. Seppecher, Multi-Wave Medical Imaging: Mathematical Modelling and Imaging Reconstruction, World Scientific, London (2017).
• J. Garnier, Inverse problems and Imaging (2021).

Prérequis

théorie de la mesure et intégration, un premier cours d’EDP, calcul différentiel en plusieurs variables

Descriptif

Ce cours est consacré à l’analyse des lois de conservations (scalaires et systèmes hyperboliques). On abordera (entre autres) la notion de solution entropique et la non-unicité des solutions faibles, le problème de Riemann, la résolution dans le cadre des fonctions à variation bornée, et la compacité par compensation (dans le cas scalaire).

Contenu

• fonctions à variation bornée (l’espace BV)
• hyperbolicité
• solutions classiques, faibles, et entropiques
• la condition de Rankine-Hugoniot
• le problème de Riemann pour les équations scalaires et systèmes hyperboliques
• Existence, stabilité, et unicité pour le cas scalaire dans le cadre BV
• Existence pour le cas scalaire via la compacité par compensation

Références

• Denis Serre "Systèmes de lois de conservation", volumes 1 et 2;
• Alberto Bressan "Hyperbolic systems of conservation laws: the one-dimensional Cauchy problem";
• Alberto Bressan "Hyperbolic conservation laws: an illustrated tutorial", polycopié de 2009, https://sites.psu.edu/bressan/3-lecture-notes/

Prérequis

Fonctions de plusieurs variables, probabilités (cours niveau L3 ou M1)

Descriptif

Les problèmes d’optimisation numérique se rencontrent dans de nombreux domaines de l’ingénierie où les fonctions à optimiser peuvent être de différents types: boîte noire ou explicite, à variables continues ou discrètes, coûteuses à évaluer ou non, etc.. Souvent, le gradient de ces fonctions est difficile à calculer ou n’existe pas car la fonction est non-differentiable et le problème peut présenter de nombreuses difficultés à savoir être non-convexe, non-séparable, discontinu, bruité, mal-conditionné, avoir de nombreux optima locaux.

Dans ce contexte, ce cours présente les principales méthodes d’optimisation sans gradient déterministes et stochastiques. Nous détaillons les notions théoriques derrière les méthodes mais également les aspects plus numériques avec l’objectif qu’à la fin du cours les élèves soient capables de mettre en place un algorithme d’optimisation sans gradient sur un problème réel.

Vous aurez l’opportunité d’implémenter ou d’utiliser l’implémentation de certains algorithmes. Vous apprendrez notamment à déjouer les pièges typiques en optimisation numérique (ne pas conclure hâtivement que la méthode est bloquée dans un optimum local, repérer les problèmes de précision numériques, ...). Nous expliquerons comment évaluer et comparer les performances des algorithmes.

Enfin, nous abordons l’optimisation multiobjectif, i.e. lorsque l’on souhaite optimiser plusieurs fonctions simultanément (comme minimiser le coût de production d’un produit tout en maximisant sa robustesse). Ces types de problèmes étant très courants dans les applications.

Contenu

• Qu’est ce qui rend un problème d’optimisation difficile ? (non-convexité, discontinuité, non-separabilité, mauvais conditionnement, malédiction de la dimension)
• Méthodes adaptatives stochastiques (CMA-ES)
• Méthodes déterministes à base de région de confiance (NEWUOA), méthodes de quasi-Newton
• Méthodes pour l’optimisation multiobjectif sans gradient
• Evaluation des performances (benchmarking)

Références

• Introduction to Derivative Free Optimization, A. Conn, K. Scheinberg et L. Vincente SIAM, 2009.
• Optimisation continue : cours et exercices, J.F. Bonnans, Dunod, 2006.
• Numercial optimization, theoretical and practical aspects : JF Bonnans, JC Gilbert, C. Lemaréchal, C. Sagastizbal, Springer Verlag 2003.

Prérequis

Bases d’analyse fonctionnelle, de distributions et d’analyse de Fourier

Descriptif

L’objectif de ce cours est d’introduire les étudiants aux Equations aux Dérivées Partielles Dispersives linéaires ou non-linéaires, et d’exhiber quelques comportements typiques des solutions: existence locale ou globale, dispersion, diffusion ou explosion. L’essentiel du cours sera consacré à un modèle simple, l’équation de Schrödinger.

Contenu

• Rappels et compléments d’analyse harmonique
• Etude des équations linéaires: existence, description en Fourier, estimations de Strichartz
• Equations non linéaires via l’injection de Sobolev
• Equations non linéaires via les estimations de Strichartz
• Existence globale: utilisation des lois de conservation
• Théorie de la diffusion pour l’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante
• Existence d’ondes solitaires, stabilité, instabilité, blow-up pour l’équation de Schrödinger non linéaire focalisante

The aim of the course is to give an introduction to the study of linear and nonlinear dispersive equations and to exhibit some of the typical behaviors of the solutions: local and global existence, dispersion, scattering or blow-up. Most of the material will be devoted to the simple model of the Schrödinger equation.

Outline

• Some useful results of harmonic analysis
• Linear equations: existence, solutions in Fourier, Strichartz estimates
• Nonlinear equations via Sobolev embedding
• Nonlinear equations via Strichartz estimates
• Global existence using conservation laws
• Scattering for defocusing nonlinear Schrodinger equations
• Existence of solitary waves, stability, instability, blow-up for the focusing NLS

Prérequis

Integration theory, functional analysis, weak convergence, Sobolev spaces

Descriptif

The calculus of variations is the study of the minimizers or critical points of “functionals”, which are functions defined in spaces of infinite dimensions, typically functional spaces. Why is it interesting? (1) it provides sometimes a very simple tool for showing existence of (weak) solutions to a problem; (2) many PDEs come from problems in physics, mechanics, etc, and precisely from “variational” principles and are therefore (often minimizing) critical points of some physical energy. (3) many problems in the industry (or finance, etc) are designed as finding the “best” state according to some criterion, and their solution is precisely a minimizer, or maximizer, of this criterion (“optimization”). In particular we will focus on the following items.

Contenu

• Characterization of the critical points
• Existence of minimizers
• Regularity for minimizers (elliptic case)
• The variational convergence aka the Γ−convergence
• Some links between large deviation principles and Γ−convergence
• Applications to some problems arising in Quantum Mechanics and Machine learning.

Références

• Dacorogna: Direct methods in the calculus of variations
• Santambrogio: A Course in the Calculus of Variations

Prérequis

Les prérequis sont ceux d’une première année de master de mathématiques fondamentales avec notamment la théorie de la mesure, calcul différentiel et topologie, analyse de Fourier, distributions et éléments de théorie des opérateurs.

Descriptif

Ce cours fondamental aborde des sujets qui prolongent la formation en analyse (analyse des EDP linéaires et non-linéaires, analyse et géométrie…) et qui peut déboucher sur beaucoup de sujets pour une poursuite en doctorat.

On s’intéresse aux interactions entre l’équation de la chaleur sur l’espace euclidien et l’existence d’inégalités fonctionnelles d’origine géométrique. Pour ce faire, on abordera la notion de noyau de la chaleur et l’on étudiera le comportement en temps longs d’une telle équation. L’unicité des solutions sous certaines contraintes à l’infini sera également traitée et sera le prétexte pour établir des principes du maximum scalaires puis sur les tenseurs symétriques : on verra ses conséquences à travers les inégalités de Li-Yau et d’Hamilton. La notion d’inégalités de Harnack paraboliques sera centrale ici. Enfin, nous établirons les liens entre bornes ponctuelles sur le noyau de la chaleur et l’existence d’inégalités fonctionnelles (inégalité de Sobolev, de log-Sobolev et de Nash entre autres). Ce cours est une initiation à des techniques d’analyse globale qui ne sont pas sensibles à la structure euclidienne et qui permettent de s’appliquer à des espaces non linéaires telles que les variétés riemanniennes.

Prérequis

Aucun

Descriptif

Les équations aux dérivées partielles (EDP) elliptiques sont une classe d’équations regroupant un grand nombre de problèmes stationnaires, c’est-à-dire indépendants du temps. Le problème de Poisson (ou Laplace) est l’exemple classique d’équation elliptique. On y retrouve souvent l’étude d’états d’équilibres de systèmes soumis à des phénoménes de diffusion.
Dans ce cours nous proposons une présentation et une analyse de schémas Volumes Finis dans le cadre des EDP elliptiques. La discrétisation étant différente de ce qui est connu dans le cadre des différences finies ou des éléments finis, nous expliquerons dans un premier temps comment obtenir une discrétisation de type volumes finis pour une équation donnée, ce qui nous amènera à définir les notions de flux et de bilan de flux. Nous présenterons ensuite les méthodes volumes finis et leur implémentation pour cette classe d’équations. Une analyse théorique de la convergence de ces méthodes sera proposée, adossée à une mise en pratique sous forme de TP Python afin de retrouver les résultats théoriques vus en cours.

Contenu

• Introduction aux équations elliptiques et description de quelques exemples classiques: diffusion, réaction-diffusion, advection-diffusion,…
• Rappel sur la formulation faible de ces problèmes. Preuve d’existence et unicité des solutions.
• Présentation des méthodes volumes finis : comment obtenir une discrétisation volumes finis pour ce type d’équations, définition de maillage admissible, présentation du schéma à deux points,…
• Analyse de ces méthodes dans le cadre des équations elliptiques.
• Illustration numérique sur des cas pratiques.
• Extension à d’autres méthodes volumes finis.

Références

• Robert Eymard, Thierry Gallouët, and Raphaèle Herbin. Finite volume methods. In Handbook of Numerical Analysis, volume 7, pages 713-1018. Elsevier, 2000.

Descriptif

Le cours propose une introduction au problème de Navier-Stokes sur l’espace tout entier. Il s’agit de trouver u définie sur [0,T] × ℝ³ à valeurs dans ℝ³ telle que

• u est à divergence nulle ∇ ⋅ u = 0,
• u vérifie l’équation aux dérivées partielles, ∂_tu + (u⋅∇)u + ∇p = νΔu + f avec ν positif constant et f une force extérieure donnée.
• u est solution du problème de Cauchy u(0,x) = u₀(x)

Contenu

• Modélisation de l’hydrodynamique : Modélisation des équations de l’hydrodynamique. Cas d’un fluide incompressible, newtonien, isotrope et homogène.
• Solutions classiques : Détermination des potentiels hydrostatique de Lorentz et hydrodynamique d’Oseen. Existence de solutions classiques des équations de Navier-Stokes (méthode des séries).
• Solutions mild : Existence de solutions au sens des distributions : méthode des itérations de Picard (théorie de Kato et Fujita).
• Solutions faibles : Existence de solutions au sens des distributions : inégalités d’énergie et méthodes de compacité (théorie de Leray).
• Critères de régularité (Serrin) : On présentera les théorèmes classiques de Serrin : unicité fort-faible, régularité locale, critères de non-explosion.
• Discussion des cas stationnaires et auto-similaires.
• Théorème de Koch Tataru (données BMO⁻¹).

Prérequis

Analyse fonctionnelle ; de plus, sont recommandés Théorie spectrale, EDPs d’évolution et Distributions

Descriptif

L’objectif de ce cours est d’introduire le concept de renormalisation en équations aux dérivées partielles (EDPs) stochastiques et dans le cadre d’EPDs déterministes à données initiales aléatoires. On commencera par faire quelques rappels sur les équations d’évolution et introduire la théorie gaussienne de la mesure afin de pouvoir définir les convolutions stochastiques : l’idée est d’introduire les concepts de base pour parler de renormalisation. La suite du cours contiendra une introduction aux EDPs stochastiques et aux mesures de Gibbs.

Contenu

• Rappels sur les semi-groupes et les EPDs
• Théorie gaussienne de la mesure
• Renormalisation en EDPs stochastiques
  • Intégrales de Wiener
  • Régularité des convolutions stochastiques
  • Exemples de renormalisation pour des équations semi-linéaires
• Mesures de Gibbs
  • Flots Hamiltoniens en dimension finie et théorème de Liouville
  • Construction de mesures de Gibbs en dimension 1
  • Construction de mesures de Gibbs en dimension supérieure/ renormalisation
  • Exemple : Schrödinger cubique et équation des ondes

Références

• An introduction to stochastic PDEs, par Martin Hairer, https://www.hairer.org/SPDEs.pdf
• Gaussian Hilbert spaces, par Svante Janson, Cambridge University Press,
• Renormalisation of parabolic stochastic PDEs, par Martin Hairer, Jpn. J. Math. 13, no. 2, (2018), 187233. arXiv:1803.03044.
• Periodic nonlinear Schrödinger equation and invariant measures, J. Bourgain, Comm. Math. Phys. 166 (1994), no. 1, 126.
• A pedestrian approach to the invariant Gibbs measures for the 2-d defocusing nonlinear Schrödinger equations par Oh, T., Thomann, L. Stoch PDE: Anal Comp 6, 397445 (2018).
• Probabilistic well-posedness for the cubic wave equation par Nicolas Burq et Nikolay Tzvetkov, JEMS Vol. 16, No. 1pp. 130 DOI 10.4171/JEMS/426

Prérequis

Bases d’algèbre et de théorie de la mesure

Descriptif

Divers problèmes, notamment en mécanique des fluides ou en ingénierie, peuvent être décrits par une équation de type cinétique, par exemple en théorie cinétique des gaz avec l’équation de Boltzmann ou pour la description de population de particules de tailles variées avec la Population Balance Equation. Cette équation est rarement résolue directement à cause du coût engendré. On passe plutôt à un problème macroscopique, via la méthode des moments, comme dans le cas des équations d’Euler. On remplace alors l’équation de type cinétique par des équations sur les premiers moments de la distribution sous-jacente. Dans ce cours, il s’agit de comprendre comment on développe ces méthodes macroscopiques à partir d’une description dite mésoscopique de type cinétique, et en particulier quelles types de fermetures sont utilisées, de caractériser l’espace dans lequel évoluent ces moments (espace des moments), d’étudier certaines propriétés mathématiques des modèles obtenus et de donner quelques méthodes de résolution des équations, en lien avec leurs propriétés mathématiques et préservant l’espace des moments.
Modalités d’évaluation : évaluation orale (synthèse d’article).

Contenu

• Introduction : applications - équation cinétique / population balance équation
• Espace des moments - lien avec la théorie des polynômes orthogonaux
• Méthodes de moments classiques pour les gaz mono-atomiques - propriétés mathématiques
• Cas des populations de particules : fermetures dans le cas mono-varié
• Méthodes numériques réalisables dans le cas mono-varié
• Cas multi-varié: difficultés théoriques et numériques supplémentaires - quelques exemples de modèles et méthodes numériques
• Cas du transfert radiatif : moments sur la sphère unité

Références

• D. L. Marchisio, R. O. Fox, Computational Models for Polydisperse Particulate and Multiphase Systems, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2013.
• H. Dette, W. J. Studden, The Theory of Canonical Moments with Applications in Statistics, Probability, and Analysis, Wiley-Interscience, 1997.
• J. B. Lasserre, Moments, positive polynomials and their applications, Vol. 1 of Imperial College Press Optimization Series, Imperial College Press, London (2010).

Descriptif

Le cours présente des aspects théoriques et numériques liés aux problèmes d’optimisation sous contraintes de type EDP. Plus précisément, la fonction objectif dépend d’une fonction d’état qui est solution d’une EDP.

Les variables d’optimisation peuvent être fonctionnelles ou géométriques. L’existence des solutions, le calcul de la sensibilité de la fonction objectif par rapport aux variables et l’approximation numérique des solutions seront traitées dans ce cours.

Des applications en théorie du contrôle optimal, optimisation de formes, problèmes inverses et optimisation spectrale seront présentées. L’utilisation de l’état adjoint pour calculer la dérivée de la fonction objectif sera présentée en détail dans plusieurs contextes. Des simulations numériques utilisant le logiciel FreeFEM accompagneront les résultats présentés dans ce cours.

Références

• G. Allaire, Conception optimale de structures, Collection: Mathématiques et Applications, Vol. 58, Springer (2007).

Prérequis

Formation de base en EDP et analyse numérique

Descriptif

Dans un nombre croissant d’applications, scientifiques ou industrielles, la simulation numérique joue un rôle clef pour comprendre et analyser les phénomènes physiques complexes. Elle permet aussi de prédire le fonctionnement de dispositifs comme les chambres de combustion aéronautiques dans l’optique d’une conception avancée. La complexité des systèmes et la taille des simulations multi-dimensionnelles rendent l’utilisation du calcul haute performance nécessaire. Ce cours propose dans un premier temps une présentation des enjeux que pose la modélisation des systèmes complexes pour les méthodes numériques et la simulation et un état de l’art des nouvelles architectures de calcul et des modèles de programmation parallèle. Après avoir rappelé les bases de l’analyse numérique des EDP pour les problèmes multi-échelles, nous proposons d’explorer quelques méthodes numériques avancées conçues pour traiter la raideur présente dans ces modèles complexes tout en tirant le meilleur parti des nouvelles architectures de calcul. Ces méthodes s’appuient sur une combinaison efficace entre analyse numérique, modélisation et calcul scientifique. Des séances de mise en oeuvre sur machines en lien avec le mésocentre de calcul de l’Ecole Polytechnique seront proposées.

Contenu

• Modélisation mathématique des systèmes complexes multi-échelles.
• Définition de la notion de calcul haute performance et synthèse sur les nouvelles architectures de calcul et modèles de programmation parallèle.
• Analyse numérique des EDP multi-échelles en temps et en espace (Décomposition de domaine, séparation d’opérateur...).
• Présentation et analyse de méthodes numériques avancées (multi-résolution adaptative et séparation d’opérateur avec adaptation temps/espace, algorithme pararéel, méthodes préservant l’asymptotique, méthodes implicite et résolution de systèmes linéaires,...).
• TP sur machine parallèle avec fourniture de codes de calcul à titre d’exemple pour chaque méthode.

Références

• M. Duarte, Adaptive numerical methods in time and space for the simulation of multi-scale reaction fronts, Thèse Ecole Centrale Paris (2011)
• W. Hundsdorfer et J. Verwer, Numerical Solution of Time–Dependent Advection–Diffusion–Reaction Equations, Springer–Verlag, Berlin (2003)
• L. Gosse, Computing Qualitatively Correct Approximations of Balance Laws, Springer (2013)
• V. Dolean, P. Jolivet, F. Nataf, An Introduction to Domain Decomposition Methods: algorithms, theory and parallel implementation (2015)
• B. Chapman, G. Jost, R. Van Der Pas, Using OpenMP: Portable Shared Memory Parallel Programming, The MIT Press (2007)
• W. Gropp, E. Lusk, A. Skjellum, Using MPI: Portable Parallel Programming with the Message-Passing Interface, The MIT Press (2014)

Prérequis

Notions de base d’analyse fonctionnelle et d’analyse de Fourier (cf. par exemple [1] et [3].

Descriptif

Ce cours est une introduction à l’analyse mathématique des modèles de la théorie cinétique des gaz ou des plasmas. Le cours portera sur certaines questions parmi les suivantes:

Contenu

• L’équation de transport:
  • méthode des caractéristiques
  • lemmes de moyenne
  • lemmes de dispersion
• Les équations de champ moyen pour les plasmas:
  • la limite de champ moyen pour les systémes de particules avec interaction lipschitzienne (d’après Neunzert-Wick, Braun-Hepp, Dobrushin)
  • le modèle de Vlasov-Poisson: existence, unicité et régularité en dimension 3 (d’après Pfaffelmoser, Lions-Perthame)
  • le modèle de Vlasov-Maxwell: existence globale de solutions renormalisées (d’après DiPerna-Lions); le critére de régularité de Glassey-Strauss
  • l’amortissement Landau (d’après Caglioti-Maffei et Mouhot-Villani)

Références

• Références sur les notions de base en analyse:

  [1] H. Brezis: “Analyse fonctionnelle et applications"; Masson, Paris, 1983.

  [2] F. Golse: “Distributions, analyse de Fourier, Equations aux dérivées partielles”, Ecole polytechnique, 2011

  [3] C. Zuily: “Eléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles", Dunod, Paris, 2002.

• Références sur le sujet du cours:

  [4] F. Bouchut, F. Golse, M. Pulvirenti: “Kinetic equations and asymptotic theory"; B. Perthame et L. Desvillettes eds, Series in Applied Mathematics (Paris), 4. Gauthier-Villars, Editions Scientifiques et Médicales Elsevier, Paris, 2000.

  [5] R.T. Glassey: “The Cauchy problem in kinetic theory". Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.

  [6] F. Golse: On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit; preprint arxiv 1301.5494.

Prérequis

bases d’analyse fonctionnelle et d’analyse harmonique

Descriptif

Le calcul para-différentiel, introduit par Bony, est un outil central pour l’étude et le traitement des équations aux dérivées partielles non linéaires. Il permet de décomposer les produits et les opérateurs grâce aux paraproduits de Coifman et Meyer, offrant ainsi une approche fine des problèmes de régularité et de propagation des singularités.

A l’interface de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale, il relie la décomposition de Littlewood–Paley et les espaces de Sobolev, Zygmund ou Besov aux cadres symboliques développés par Kohn-Nirenberg et Hörmander. Il fournit une méthodologie robuste pour linéariser les opérateurs non linéaires, comparer avec le calcul pseudo-différentiel et construire des opérateurs adaptés comme ceux de para-composition introduits par Alinhac.

Dans ce cours, nous présenterons les fondements de ce calcul et ses applications, en mettant l’accent sur son rôle unificateur entre l’analyse harmonique, la théorie des EDP non linéaires et la théorie des systèmes dynamiques. Nous aborderons ainsi un large éventail d’applications : inégalités bilinéaires de type Coifman–Meyer, étude des commutateurs et régularité elliptique, problèmes de frontière libre (notamment via l’opérateur de Dirichlet–Neumann), ainsi que l’analyse des équations d’Euler et de Schrödinger. Nous verrons également comment, dans la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), la réduction para-différentielle permet de surmonter les problèmes de petits diviseurs.

Présenter les fondements du calcul paradifférentiel tel qu’introduit par Bony, son lien avec les paraproduits de Coifman et Meyer et l’analyse microlocale de Kohn-Nirenberg et Hörmander, ainsi que ses applications récentes aux équations non linéaires, aux théories de conjugaison (théorèmes KAM) et aux problèmes de régularité dans la théorie des équations elliptiques.
 

Références

• J.-M. Bony. Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires. Annales scientifiques de l’ENS, 1981.
• S. Alinhac, P. Gérard. Pseudo-differential Operators and the Nash-Moser Theorem. American Mathematical Society, 2007.
• G. Métivier. Para-differential calculus and applications to the Cauchy problem for nonlinear systems. Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Pisa.
• M. Taylor. Pseudodifferential Operators and Nonlinear PDE. Birkhauser, 1991.
• R. Coifman, Y. Meyer. Wavelets: Calderón-Zygmund and Multilinear Operators. Cambridge University Press, 1997.
• T. Alazard, C. Shao. KAM via Standard Fixed Point Theorems. Preprint, arXiv:2312.13971, 2023.

Prérequis

Analyse fonctionnelle appliquée, formulations variationnelles, analyse numérique des EDP

Descriptif

On étudiera plusieurs modèles en électromagnétisme, construits à partir des équations de Maxwell, dont les solutions sont les champs électromagnétiques. Ce cours visera quatre objectifs principaux : étude des propriétés des champs électromagnétiques ; définition de modèles associés aux équations de Maxwell (relations entre les champs, modèles statique, quasi-statique ou à dépendance en temps connue, ...) ; résolution mathématique rigoureuse de ces modèles ; techniques de discrétisation. On utilisera notamment les outils mathématiques et d’analyse numérique proposés dans le cours MS03. L’évaluation se fait par un examen écrit (dernière séance)

Contenu

• Propriétés des champs électromagnétiques
• Espaces de Sobolev et théorèmes de trace en électromagnétisme
• Relations constitutives ; conditions aux limites ; définition des modèles
• Résolution des équations de Maxwell instationnaires et énergie
• Résolution des modèles statiques
• Résolution des équations de Maxwell stationnaires en domaine borné
• Discrétisation par éléments finis d’arête
• Analyse numérique et convergence

Références

• F. Assous, P. Ciarlet, S. Labrunie, Mathematical Foundations of Computational Electromagnetism, Springer, 2018.
• J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, Third Edition, John Wiley & Sons, 1999.
• P. Monk, Finite Element Methods for Maxwell’s Equations, Oxford University Press, 2003.

Prérequis

Analyse fonctionelle, Homogénéisation périodique

Descriptif

L’objectif de ce cours est de développer une théorie de l’homogénéisation stochastique et d’introduire les considérations quantitatives et numériques qui émergent dans ce contexte. Aucun prérequis en probabilités n’est attendu, seules des bases en analyse fonctionnelle et numérique pour les EDPs sont nécessaires. Nous commencerons par énoncer les résultats dans un cadre périodique avant de détailler le cadre aléatoire dans lequel nous allons travailler. Notre étude concerne les équations elliptiques linéaires aux coefficients stationnaires ergodiques dépendant d’une variable qui oscille rapidement comparée à la variable d’espace dans laquelle sont posées les équations. Nous montrerons la convergence presque sûre de la solution vers la solution d’une équation homogénéisée déterministe qui ne dépend plus que de la variable macroscopique. Nous aborderons ensuite les problématiques de quantification de cette convergence en montrant sur une équation elliptique perturbée un résultat de type central limite pour notre erreur. Nous présenterons enfin d’autres cadres aléatoires relevant de l’homogénéisation et les résultats associés, comme la perturbation d’un milieu périodique ou sa transformation par un difféomorphisme aléatoire de gradient stationnaire. Deux séances de travaux dirigés d’une heure et demi chacune auront lieu au cours du trimestre. Une séance de 3h de travaux pratiques en salle informatique nous permettra d’étudier la mise en oeuvre numérique de l’homogénéisation stochastique et d’appliquer des méthodes de réduction de variance pour améliorer nos algorithmes. L’évaluation consistera en un examen de 3h qui se tiendra à la fin du cours.

Contenu

• Homogénéisation périodique, quelques rappels de résultats
• Homogénéisation stochastique des EDP elliptiques linéaires
• Estimations quantitatives des convergence
• Aspects numériques
• Extension à d’autres cadres aléatoires

Références

• G.C. Papanicolaou and S.R.S. Varadhan, Boundary value problems with rapidly oscillating random coefficients, Random fields, Vol. I, II (Esztergom, 1979), Colloq. Math. Soc. Jànos Bolyai, 27 (1981) 835–873, North-Holland, Amsterdam.
• G. Bal, Central limits and homogenization in random media, Multiscale model & Simul, 7 (2008) 677–702.
• X. Blanc, C. Le Bris, and P.-L. Lions, Stochastic homogenization and random lattices, J. Math. Pures Appl., 88 (2007), 34–63.
• Anantharaman, Arnaud, Ronan Costaouec, C. Le Bris, Frédéric Legoll, and Florian Thomines. Introduction to numerical stochastic homogenization and the related computational challenges: some recent developments. In Multiscale modeling and analysis for materials simulation, pp. 197-272. 2012..

Prérequis

Analyse mathématique et numérique des EDPs, Méthode des éléments finis

Descriptif

Les équations aux dérivées partielles (EDPs) sont largement utilisées dans la recherche et l’industrie pour modéliser et simuler des phénomènes physiques. Ces EDPs dépendent de paramètres, qui servent par exemple à décrire des propriétés matérielles ou des caractéristiques géométriques. En pratique, il est souvent nécessaire de résoudre numériquement l’EDP non pas pour un seul jeu de valeurs de paramètres fixé, mais pour un ensemble potentiellement vaste de valeurs de paramètres. C’est notamment le cas dans des contextes d’optimisation, de quantification d’incertitude ou d’inférence de paramètres. En une dizaine d’années, la méthode de base réduite est devenu un outil essentiel pour résoudre efficacement et de façon fiable les EDPs dépendantes de paramètres. L’objectif de ce cours est d’introduire cette méthode, de se familiariser avec les concepts sous- jacents et de la mettre en oeuvre, lors de TP sur ordinateur avec MatLab, dans des cas concrets d’EDPs dépendantes de paramètres, en utilisant la méthode des éléments finis ou des volumes finis.

Contenu

• Rappels sur la discrétisation des EDPs,
• Introduction aux notions d’épaisseur de Kolmogorov, d’opérateur affine et d’efficacité offline/online,
• Résultat d’estimation d’erreur a posteriori,
• Deux algorithmes de construction de base réduite: POD et greedy,
• Mise en œuvre de la méthode de base réduite en MatLab lors de TP.

Références

• J.S. Hesthaven, G. Rozza, B. Stamm et al. Certified reduced basis methods for parametrized partial differential equations. Berlin : Springer, 2016.
• A. Quarteroni, A. Manzoni and F. Negri. Reduced basis methods for partial differ- ential equations: an introduction. Springer, 2015.

Prérequis

Méthodes numériques, algorithmique, langage C

Descriptif

Une branche importante du calcul scientifique consiste à simuler sur ordinateurs des phénomènes physiques complexes. Son intérêt consiste à mieux appréhender des problèmes fondamentaux : solution des équations de Navier-Stokes, turbulence, ou à prédire des phénomènes non observables par l’expérience comme les écoulements biologiques ou la prédiction des séismes. Le recours à la simulation numérique est également croissante dans des phases de design où l’objet n’existe pas encore (avion, voiture, pièces mécaniques, …) afin de trouver, par exemple, une forme optimale. Dans ce contexte, la génération d’un maillage, support spatial discret pour le calcul, est une phase clé du processus de simulation : pas de maillage, pas de solution, pas d’analyse. Dans une première partie, ce cours d’intéresse aux méthodes de génération de maillages pour des géométries complexes. Dans une deuxième partie, on s’intéresse aux techniques d’adaptation de maillages pour des solutions numériques. Ces dernières se basent sur des estimateurs d’erreur qui permettent à la fois de contrôler le degré de précision d’une solution ainsi que son degré de fiabilité.
On donne ci-dessous un découpage du cours pour 6 séances. Chaque séance se décompose en un cours magistral d’1h suivi de 2h de TD/TP sur ordinateur. L’évaluation se fait sur le compte-rendu de deux rapports de projet.

Contenu

• Sur la génération de maillage en 2D : algorithmes (complexité, table de hachage), Noyau de Delaunay, opérateurs de modifications de maillages, preuve d’existence,
• Génération de maillage de surface à partir d’une représentation continue (Bézier, NURBS). Notions de géométrie différentielle pour la génération de maillages (courbure, approximation surfacique),
• Génération de maillage en 3D : Preuve d’existence, visibilité (problème d’optimisation convexe).
• Partitionnement de maillage
• Projet : Réalisation d’un mailleur 2D basé sur le noyau de Delaunay.
• Dualité entre les espaces métriques Riemanniens et les maillages adaptatifs anisotropes
• Introduction aux estimateurs d’erreurs a priori et a posteriori pour des solutions numériques d’EDPs.
• Estimateurs d’erreur anisotropes : multi-échelles ou adjoint pour le contrôle d’une fonctionnelle.
• Projet : Implémentation d’un estimateur d’erreur d’interpolation en norme L^p et réalisation d’une boucle d’adaptation sur un écoulement de mécanique des fluides (sortie de réacteur, entrée atmosphérique d’une capsule APOLLO)

Références

• P. L. George, H. Borouchaki, F. Alauzet, A. Loseille and L. Maréchal, Maillage, modélisation géométrique et simulation numérique, Volume 2 : Métriques, maillages et adaptation de maillages, ISTE Editions, 2018.
• R. Löhner, Applied Computational Fluid Dynamics Techniques: An Introduction Based on Finite Element Methods, Second Edition, John Wiley & Sons, 2008.

Prérequis

Méthodes variationelles pour les EDP, bases d’optimisation et/ou de programmation dynamique

Descriptif

Ce cours a pour vocation de décrire une démarche de modélisation mathématique allant de la formulation d’un modèle physiologique d’organe jusqu’à son interaction avec des données recueillies à l’hôpital. Le contexte est celui de la modélisation du coeur en interaction avec le système cardiovasculaire afin de proposer un outil de monitorage en anesthésie. Nous proposons de parcourir les différentes étapes de modélisations en confrontant les besoins de l’application et les outils mathématiques assurant des solutions aux problèmes (formulation, caractère bien posé, méthodes numériques, problèmes inverses en interaction avec les données). Ce cours pourra être complété par des extensions théoriques sur chaque sujet introduit sous forme de conférences ou d’articles à étudier.

Contenu

• Introduction aux formulations variationnelles en elastodynamique linéaire et non-linéaire - 3h
  • Cadre variationnel et fonctionnel pour la mécanique linéaire
  • Introduction à la mécanique non-linéaire
• De la physiologie à la modélisation du système cardiovasculaire - 3h
  • Modélisation des muscles cardiaques
  • Le coeur dans le système cardiovasculaire
• Modèles micro de la contraction cardiaque - 3h
  • Modèles de type Huxley
  • Moments
  • Vers les modèles stochastiques
• Réduction de modèle - 3h
  • Hypothèse de surfaces minces
  • Modèles réduits
  • Des estimations à l’existence de solutions
• Principes de discrétisation en temps 3h
  • Discrétisation en mécanique
  • Discrétisation des modèles réduits
  • Discrétisation pour les systèmes couplés
• Estimation 3h
  • Cadre de l’estimation pour les ODEs
  • Equivalences en linéaire
  • Extensions en non-linéaire

Descriptif

Ce cours présente plusieurs approches mathématiques et numériques pour planifier des trajectoires de systèmes commandés non-linéaires.

Contenu

• Introduction, Point de vue robotique (survey)

  Formalisation, classification des problèmes

• Le cas linéaire: planification directe (grammien), via Brunovsky
• Equivalence de systèmes: (1) équivalence par feedback: définition, critères de linéarisation (locale et globale) (2) équivalence dynamique, platitude
• Propriétés des ensembles atteignables, rappels de commandabilité
• Commande optimal, PMP, LQ
• Calcul des ensembles atteignables, approche "level-set". FIN DU PROGRAMME COURS ENSTA
• Approche HJB. Simulations numériques FIN DU PROGRAMME COURS ENSTA

• DERNIÈRE SEANCE POUR MASTER ATSI:

  Le cas non-holonome: méthodes basées sur structure d’algèbre de Lie, commandes dans des familles paramétrées (polynômes, sinusoïdes), ex. des systèmes chaînés, processus par itération, méthode de continuation

Références

• A. A. Agrachev and Y. L. Sachkov. Control Theory from the Geometric Viewpoint. Springer-Verlag, 2004.
• V. Jurdjevic. Geometric Control Theory. Cambridge University Press, 1997.
• F. Jean. Control of Nonholonomic Systems : from Sub-Riemannian Geo-metry to Motion Planning. Springer International Publishing, Springer- Briefs in Mathematics, 2014.

Prérequis

Connaissances de mathématiques générales et d’équations aux dérivées partielles

Descriptif

Ce cours est consacré à l’analyse théorique et à l’approximation numériques des solutions des systèmes d’équations aux dérivées partielles linaires et non linaires pouvant présenter des instabilités dues à une perte locale de l’hyperbolicité stricte.

Contenu

• Systèmes non-strictement hyperboliques : phénomène de résonance, apparition de delta-choc
• Exemples applicatifs sous forme conservative : modèles d’Isaacson-Temple, de Keyfitz-Kranzer, de gaz sans pression
• Exemples applicatifs sous forme quasi-linéaire : modèles de Saint-Venant, de tuyère section variable, d’écoulement diphasique de Baer-Nunziato
• Schémas numériques adapts

Références

• F. Bouchut, Nonlinear stability of finite volume methods for hyperbolic conservation laws and well-balanced schemes for sources, vol. 142 of Frontiers in Mathematics series, Birkhäuser, Basel, 2004.
• R. Courant, K. O. Friedrichs, Supersonic Flow and Shock Waves, vol. 21 of Applied Mathematical Sciences series, Springer, New York, 1999.
• E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. A practical introduction, Springer, Berlin 2014.

Prérequis

Il est nécessaire d’avoir des connaissances en analyse variationnelle des EDP et en analyse numérique (des connaissances sur les Eléments Finis seront les bienvenues)

Descriptif

Ce cours est consacré aux problèmes d’interaction fluide-structure qui permettent de modéliser tous les phénomènes où les mouvements d’un fluide et d’une structure sont en interaction. Nous nous concentrerons ici sur la présentation et l’étude de modèles permettant de décrire des écoulements sanguins.

Contenu

• Modélisation : présentation de plusieurs modèles (modèle complet tridimensionnel et modèle réduit en dimension 1)
• Etude des équations de Stokes (formulations variationnelles contrainte et mixte, théorème de Nečas, approximation numérique des équations de Stokes par la méthode des éléments finis), étude du problème couplé stationnaire entre un fluide modélisé par Stokes et une structure élastique
• Approximation numérique de problèmes d’interaction fluide-structure : algorithmes de couplage ; spécificités des écoulements sanguins.

Prérequis

Connaissances de mathématiques générales. Équations différentielles linéaires et non linéaires. Bases de l’analyse fonctionnelle. Équations aux dérivées partielles linéaires.

Descriptif

Ce cours est consacré à l’étude de l’émergence de solitons (ondes progressives) dans le comportement global de toutes les solutions globales de l’équation de Klein-Gordon non linéaire avec un amortissement, en dimension 1 d’espace.

Contenu

• Le problème de Cauchy local en temps pour l’équation de Klein-Gordon non linéaire avec amortissement (T. Cazenave et A. Haraux).
• Toute solution globale est bornée par la méthode d’énergie (T. Cazenave).
• Les solitons de l’équation de Klein-Gordon non linéaire (incluant l’étude spectrale de l’opérateur linéarisé).
• Le principe de concentration-compacité (P.-L. Lions)
• Premier résultat de convergence ; émergence de solitons pour des sous-suites de temps (E. Feireisl).
• “Modulation” des solitons et équations des paramètres géométriques (position et vitesse de chaque soliton)
• Étude d’un système de dimension fini de type Toda (F. Merle et H. Zaag).
• Raffinement du résultat de compacité, convergence pour toute suite de temps, propriété des signes alternés, positions asymptotiques des solitons (R. Côte, Y. Martel et X. Yuan)

Références

• T. Cazenave, Uniform estimates for solutions of nonlinear Klein-Gordon equations, Journal of Functional Analysis, 60 (1985), 36-55.
• T. Cazenave and A. Haraux, An introduction to semilinear evolution equations. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 13. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.
• R. Côte, Y. Martel, X. Yuan, Long-time asymptotics of the one-dimensional damped nonlinear Klein-Gordon equation, Arch. Ration. Mech. Anal. 239, 1837–1874 (2021).
  https://arxiv.org/abs/2002.01826
• E. Feireisl, Finite energy travelling waves for nonlinear damped wave equations, Quart. Appl. Math., 56 (1998), 55–70.
• P.-L. Lions, On positive solutions of semilinear elliptic equations in unbounded domains, Nonlinear diffusion equations and their equilibrium states, II (Berkeley, CA, 1986), 85–122, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 13, Springer, New York, 1988.
• F. Merle and H. Zaag, Existence and classification of characteristic points at blow-up for a semilinear wave equation in one space dimension, Amer. J. Math., 134 (2012) n. 3, 581–648.

Descriptif

La méthode de Boltzmann sur réseau est une méthode numérique qui permet d’approcher les solutions d’équations aux dérivées partielles. Elle est considérée comme extrêmement efficace pour plusieurs raisons : l’algorithme est très simple à programmer ; la méthode est explicite et ne nécessite aucune résolution de systèmes linéaires ; les opérations sont pour la plupart locales en mémoire ce qui permet une accélération efficace en parallélisant le code. Ses multiples avantages font sa popularité et ses champs d’applications s’étendent actuellement des équations de la mécanique des fluides (Navier-Stokes mais aussi physique des plasmas) à la mécanique des solides, aux milieux poreux... Cependant les résultats mathématiques permettant de garantir la qualité de la solution numérique calculée sont peu nombreux et nécessitent le développement de nouveaux outils. C’est un domaine de recherche en mathématique qui est actuellement en pleine expansion.

La méthode de Boltzmann sur réseau consiste, dans sa version la plus pure, à faire évoluer sur un maillage cartésien des fonctions densités de particules selon un algorithme imitant une version discrète de l’équation de Boltzmann décrivant l’état statistique d’un gaz hors de l’équilibre thermodynamique. L’objectif de ce cours est avant tout de présenter les différentes étapes de l’algorithme afin de comprendre son comportement et ses qualités. Nous introduirons ensuite les différents outils mathématiques nécessaires à l’étude en particulier de la consistance, de la stabilité et de la convergence de ces schémas. Nous étudierons certains schémas les plus simples et les plus populaires permettant de simuler des systèmes hyperboliques comme les équations de transport, de Bürgers, de Saint-Venant ou d’Euler mais aussi des équations paraboliques comme l’équation de la chaleur.

Nous nous appuierons sur un logiciel libre pylbm¹ afin de tester rapidement et simplement la méthode. Des séances de travaux pratiques sur machine seront en particulier dédiées à l’utilisation de la méthode pour améliorer la compréhension de ses propriétés.

Prérequis

Notions on measure theory, weak convergence, and convex analysis

Descriptif

Optimal transport is a powerful mathematical theory at the interface between optimization and probability theory with far reaching applications. It defines a natural tool to study probability distributions in the many situations where they appear: data science, partial differential equations, statistics or shape processing. In this course we will present the classical theory of optimal transport, efficient algorithms to compute it and applications

Contenu

• Monge Problem, Kantorovich primal and dual
• One dimensional Transport
• Brenier Theorem, c-transform and c-monotony
• Wasserstein Metric and barycenters
• Functional on the space of probability measures (McCann interpolation and displacement convexity)
• Gradient Flows
• Numerical Methods (Entropic Optimal Transport)
• Applications to Machine Learning

Descriptif

Les fonctions propres du Laplacien jouent un rôle clé dans la description d’innombrables phénomènes physiques : vibrations des ponts, des bâtiments, des membranes, acoustique musicale, états stationnaires de particules quantiques, propagation dans des guides d’ondes, connectivité et diffusion sur les réseaux, compression d’images et de sons...

L’analyse mathématique des fonctions propres, outre son intérêt dans l’étude de ces phénomènes, est un sujet riche et actif : propriétés de localisation ou de délocalisation des fonctions propres haute fréquence (chaos quantique), des ensembles nodaux, liens avec les spectres de graphes, fonctions propres d’opérateurs de Schrödinger aléatoires...

Nous présenterons dans ce cours quelques-uns de ces aspects mathématiques.

Contenu

• Quelques aspects de modélisation et de simulation autour des fonctions propres.
• Fonctions propres sur la sphère.
• Méthode WKB.
• Décroissance exponentielle des fonctions propres d’opérateurs de Schrödinger (effet tunnel).
• Spectre des graphes et spectre des variétés. Inégalité de Cheeger.
• Localisation et délocalisation : normes L^p, ergodicité quantique.

Prérequis

Il pourra être utile (bien que non nécessaire) d’avoir suivi les cours suivants du M2 AAG au premier semestre :

• Introduction aux systèmes dynamiques topologiques et différentiables
• Introduction à l’analyse semiclassique

Des rappels d’analyse et de dynamique seront toutefois faits au début du cours.

Descriptif

Le but de ce cours est l’étude des propriétés statistiques (ergodicité, mélange, mélange exponentiel, etc.) des systèmes dynamiques uniformément hyperboliques tels que les difféomorphismes d’Anosov, ou le flot géodésique sur les surfaces à courbure négative. Nous adopterons un point de vue moderne fondé sur l’analyse microlocale, c’est-à-dire l’étude des singularités des solutions des équations aux dérivées partielles linéaires.

Contenu

• Rappels d’analyse, calcul pseudodifférentiel
• Rappels de dynamique hyperbolique : définitions, exemples, propriétés élémentaires
• Opérateur de transfert, distributions anisotropes
• Mélange exponentiel des difféomorphismes d’Anosov
• Fonctions zeta, déterminants dynamiques

Références

T.Lefeuvre, Microlocal analysis in hyperbolic dynamics and geometry, Cours spécialisés de la SMF, 2025.

Descriptif

In these lectures we will develop the concept of the mean oscillation of a function in connection with several important objects in analysis like Poincaré inequalities, BMO and the Hölder-Lipschitz spaces which are in- timately connected. We will also show that central results in analysis like Poincaré-Sobolev inequalities and the John- Nirenberg theorem are very much related by means of the concept of self-improving property. The basic tools that we will be using come from harmonic analysis, mainly: the Lebesgue differentiation theorem, the Hardy-Littlewood maximal func- tion and the Calderón-Zygmund decomposition, "good lambda-inequalities". Further these ideas will allow us to connect with the Ap theory of weights and we will develop it as much as time allows.

Lectures

• Topics from Harmonic Analysis related to the space of BMO
• Poincaré inequalities and fractional Integrals.
• Ap theory of weights: a short introduction
• Generalized Poincaré inequalities. A first Self improving property using a discrete condition.
• A second first Self improving property. Applications to Fractional Poincaré-inequalities
• Fractional Poincaré-inequalities with gains. The Bourgain-Brezis-Mironescu phenomenon.
• Degenerate Fractional Poincaré-inequalities with gains.
• Isoperimetric Inequalities with measures
• A new formula for Sobolev norms in product spaces: Brezis-Van Schaftingen-Yung theorem
• Smoothness in Metric Spaces, Hajlasz’s theorem

Prérequis

Aucun

Descriptif

Dans le domaine de l’ingénierie, les méthodes d’apprentissage statistique viennent compléter et parfois même concurrencer les approches de modélisation classiques basées sur la connaissance d’équations décrivant le comportement d’un système physique. L’objectif général de ce cours sera d’introduire quelques méthodes classiques, illustrées par des cas pratiques sur ordinateur, permettant de combiner physique et apprentissage pour la conception et l’industrialisation des produits du groupe Michelin.
Dans la première partie du cours, nous allons introduire les notions de base de la data science et de l’intelligence artificielle pour avoir une vision globale des méthodes existantes dans l’apprentissage supervisé, non-supervisé et l’apprentissage par renforcement. Nous allons ensuite couvrir les algorithmes couramment utilisés pour résoudre des problèmes de régression et de classification dans un contexte industriel. Le focus sera mis sur la méthodologie à mettre en place pour un problème-type de data science, allant de la collecte au nettoyage des données, du choix de l’algorithme à l’entraînement du modèle, jusqu’à la validation et la mise en production de la solution finale. Le tout sera illustré avec des exemples concrets en Python [1] et des best practices à appliquer sur des vrais cas d’usage business et industriels. Cette partie se terminera avec une réflexion sur l’IA responsable, incluant l’interprétabilité, l’équité et l’impact environnemental.

La deuxième partie du cours se concentrera sur la présentation de quelques méthodes de réduction de modèle basées sur l’apprentissage de solutions issues de simulations haute-fidélité. Une partie importante sera consacrée à la méthode POD (Proper Orthogonal Decomposition) [2,3,4] dont le but est de représenter la solution d’un problème dans un espace de dimension réduite. Des extensions récentes de la POD seront également présentées [5]. Dans la suite du cours, nous présenterons la méthode Dynamic Mode Decomposition (DMD) [6] particulièrement adaptée à la modélisation de problèmes dynamiques et son extension à des problèmes non-autonomes Dynamic Mode Decomposition with Control (DMDc) [7].

La troisième partie du cours consistera en une introduction générale aux méthodes d’optimisation utilisées dans l’industrie. L’optimisation est un levier important pour concevoir des produits innovants ou paramétrer des machines plus efficacement. Dans ce cours, nous verrons quelques problèmes industriels et les algorithmes utilisés qui vont du réglage de vitesse machine en usine à l’optimisation de forme.

La dernière partie du cours fera un focus sur l’optimisation bayésienne [8] qui permet d’accélérer la découverte de solutions en s’appuyant sur des modèles machine learning / deep learning probabilistes pouvant aider à se concentrer sur des zones prometteuses de l’espace de recherche. On présentera ainsi les concepts fondamentaux de cette approche et on illustrera son efficacité pour résoudre des problèmes industriels complexes.

Références

• Geron, A. (2019). Hands-On Machine Learning with Scikit-Learn, Keras, and TensorFlow: Concepts, Tools, and Techniques to Build Intelligent Systems (2nd ed.). O’Reilly.
• Chatterjee, A. (2000). An introduction to the proper orthogonal decomposition. Current science, 808-817.
• Bergmann, M., & Cordier, L. (2008). Optimal control of the cylinder wake in the laminar regime by trust-region methods and POD reduced-order models. Journal of Computational Physics, 227(16), 7813-7840.
• Swischuk, R., Mainini, L., Peherstorfer, B., & Willcox, K. (2019). Projection-based model reduction: Formulations for physics-based machine learning. Computers & Fluids, 179, 704-717.
• Geelen, R., Wright, S., & Willcox, K. (2023). Operator inference for non-intrusive model reduction with quadratic manifolds. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 403, 115717.
• Schmid, P. J. (2010). Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. Journal of fluid mechanics, 656, 5-28.
• Proctor, J. L., Brunton, S. L., & Kutz, J. N. (2016). Dynamic mode decomposition with control. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 15(1), 142-161.
• Frazier, P. I. (2018). A Tutorial on Bayesian Optimization. arXiv:1807.02811v1

Prérequis

Aucun

Descriptif

Les ondes, sonores et électromagnétiques, nous permettent de percevoir le monde extérieur, par les interactions appelées diffractions qu’elles ont avec les objets. Ces phénomènes de diffraction sont omniprésents : vision, imagerie radar, acoustique des salles de concert, réduction du bruit urbain, etc., et souvent en régime haute fréquence : la longueur d’onde est petite devant la taille de l’objet. Néanmoins certains détails, de dimension comparable, ou même petite devant la longueur d’onde, peuvent avoir des effets diffractifs non négligeables. Pour simuler numériquement les phénomènes de diffraction, les méthodes intégrales [1] et asymptotiques haute fréquence [2] sont naturellement complémentaires. Les premières permettent de calculer le champ diffracté par des objets de forme très générale. Elles étaient initialement limitées à des objets de taille raisonnable en termes de longueur d’onde. Des progrès considérables dans les méthodes de résolution, notamment la technique de H-matrices, permettent de traiter de grands objets, au prix d’un coût de calcul croissant avec la fréquence Les secondes, fondées sur des développements asymptotiques, sont d’autant plus précises que la fréquence est élevée et permettent d’élucider la structure du champ diffracté en termes physiques. Mais elles sont limitées à des objets de forme assez régulière. L’idée naturelle consiste à associer les deux types de méthodes pour profiter de leurs avantages respectifs.

Contenu

• Le cours présente d’abord brièvement les équations d’ondes (acoustiques et électromagnétiques), et les méthodes d’équations intégrales.
• Puis il présente les fondements mathématiques des méthodes haute fréquence.
• Il explique ensuite comment les mettre en oeuvre, soit seules, soit en les hybridant avec des méthodes intégrales. Cela permet de calculer le champ diffracté par des objets en même temps très grands en terme de longueur d’onde, mais comportant des détails géométriques fins et de forme complexe. Une des méthodes possibles est présentée dans [3].

Références

• M. Lenoir, Notes de cours sur les équations intégrales et problèmes de diffraction, ENSTA.
• I. Andronov, D. Bouche, F. Molinet Asymptotic and Hybrid Methods in Electromagnetism IEEE Press, 2005.
• M. Lenoir, E. Lunéville, N. Salles, Coupling High-frequency Methods and Boundary Element techniques for Scattering Problems with several Obstacles, WAVES 2017

Prérequis

Analyse niveau M1, probabilités niveau L3 (bases de théorie de la mesure, espaces de Sobolev, bases de probabilités)

Descriptif

L’objectif de ce cours est une introduction aux modèles de population structurées, à leur analyse mathématique et aux méthodes de problèmes inverses utilisées pour confronter ces modèles à des données expérimentales. La question qui traverse le cours est celle de l’estimation des caractéristiques de croissance et de division d’une population. Deux applications en biologie pourront être abordées, qui donnent le fil conducteur du cours et permettent une mise en application concrète des théories abordées: la fragmentation des polymères de protéines et la croissance des populations bactériennes.

Nous donnons d’abord un aperçu général des modèles et de leurs domaines d’application, en détaillant la correspondance entre le point de vue de la population et les modèles individuels "microscopiques" (modélisés par des processus de branchement), ainsi que quelques méthodes pour leur analyse mathématique - existence, unicité, comportement en temps grand.

Nous nous concentrons ensuite sur deux exemples de problèmes inverses, au travers desquels plusieurs méthodes de résolution seront abordées- méthode de Tikhonov généralisée, régularisation par noyaux, théorie générale des problèmes inverses (dans le cadre linéaire hilbertien). Nous verrons aussi comment l’analyse du problème direct peut se révéler fondamentale pour la résolution du problème inverse.

Le premier exemple est l’estimation du taux de division, le second est l’estimation conjointe du taux de fragmentation et du noyau de fragmentation dans un cadre de fragmentation pure. Tout ceci nous ramène à la question du choix du modèle - qui peut étre formulée comme suit : comment être certain de ce qui est la véritable variable "structurante" ? Dans chaque cas, l’application pratique à des données réelles suivra l’analyse mathématique des modèles et des méthodes.

Descriptif

Les équations aux dérivées partielles sont souvent utilisées en biologie pour modéliser des systèmes structurés spatialement : propagation de forêt, dynamique d’une inflammation, polarisation d’une cellule... Ces modèles peuvent par exemple permettre de simuler de façon précise le comportement d’un organe. Dans d’autres cas, en particulier lorsque l’on s’intéresse à des systèmes biologiques moins bien compris, les équations aux dérivées partielles peuvent offrir une description qualitative de phénomènes complexes. Dans ce cours, nous allons nous concentrer sur deux problématiques écologiques, via l’étude de travaux récents. Dans un premier temps nous nous intéresserons aux phénomènes de propagation qui sont décrits par des équations paraboliques non-linéaires. Nous verrons alors qu’une bonne compréhension d’équations linéaires (elliptiques ou paraboliques) permet d’étudier le comportement de modèles non-linéaires. Dans la deuxième partie du cours nous étudierons les dynamiques de mouvements collectifs décris par des équations cinétiques. Pour comprendre la dynamique de ce second type d’équations aux dérivées partielles nous identifierons une échelle de temps rapide (qui sera locale en espace) et une échelle lente (qui gouvernera la dynamique spatiale du système). Nous pourrons ainsi décrire les solutions grâce à des modèles macroscopiques.

Les deux problématiques écologiques discutées dans ce cours nous permettront de comprendre la diversité des questions qui peuvent se poser autour de modèles d’équations aux dérivées partielles en biologie: modélisation, liens avec d’autres modèles (en particulier avec des modèles stochastiques), simulations numériques. Nous pourrons aussi discuter des rôles possibles de l’analyse mathématique dans l’étude d’une problématique biologique. Les méthodes mathématiques abordées (modèles linéaires/non-linéaires, dynamiques lentes/rapides) interviennent dans de nombreux problèmes mathématiques issus de la biologie.

De plus, ces méthodes ont des liens avec des arguments utilisés en probabilités et lors de l’étude de systèmes dynamiques.